Não consigo resolver essa integral

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Não consigo resolver essa integral

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Não consigo resolver essa integral

Mensagempor Cristiano Tavares » Qua Mai 11, 2011 22:16

Olá a todos,

Já tentei exaustivamente mas não consegui resolver a questão que segue abaixo:

f: R em R é a função dada por f(x)=\int_{-\1}^x \left({t}^{4}+{2}^{t}\right){cost}^{6}dt, nessa função o (cost) está elevado à sexta potência, e não apenas a variável "t".

Nesse caso f ' (0) = 4 . Verdadeiro ou falso?

A minha dificuldade está no fato de que dentro da integral a variável é "t", enquanto que o "x" aparece em um dos limites de integração.

Gostaria de entender como essa questão pode ser resolvida.

Agradeço desde já a atenção dispensada.
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Re: Não consigo resolver essa integral

Mensagempor MarceloFantini » Qua Mai 11, 2011 23:35

Não é para resolver a integral. Pelo teorema fundamental do cálculo, quando f(x) = \int_a^x g(t) \, dt, com a constante, então f'(x) = g(x). Então, derivando f(x) você terá a função da integral como uma função de x, logo basta substituir por zero e ver se é verdadeiro.
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Re: Não consigo resolver essa integral

Mensagempor Cristiano Tavares » Qua Mai 11, 2011 23:59

Marcelo,

Muito obrigado pela ajuda, sua resposta foi rápida, clara e objetiva. Um abraço!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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