retas tangentes

por **kvothe** » Sex Mai 06, 2011 17:48

uma questao bastante polemica na prova de calculo que fiz hoje pede pra calcular a reta tangente à uma curva no ponto especifico.
cada um achou uma resposta diferente.
é uma equação parametrica.

$x=\frac{tg(t)}{2}$
$y=\frac{sec(t)}{2}$

a questao pede a equação da tangente a essa curva no ponto $\frac{\pi}{3}$
eu cheguei a seguinte equação : $y=\frac{\sqrt[]{3}}{2}x + \frac{1}{4}$

obrigado

por **LuizAquino** » Sex Mai 06, 2011 18:49

Há duas formas básicas de fazer o exercício.

Você pode trabalhar diretamente com a equação paramétrica ou você pode determinar a equação cartesiana e usar derivação implícita.

Solução 1
Usando diretamente a equação paramétrica, temos a curva $c(t) = \left(\frac{\textrm{tg}\, t}{2},\, \frac{\sec t}{2}\right)$ e queremos a reta tangente em $c\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\, 1\right)$

Sabemos que a reta tangente terá direção dada por $c^\prime(t) = \left(\frac{\sec^2 t}{2},\, \frac{\textrm{tg}\,t \sec t}{2}\right)$ . Para o valor do parâmetro desejado, temos que $c^\prime\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left(2,\, \sqrt{3}\right)$ .

Desse modo, a reta tangente passa pelo ponto $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\, 1\right)$ e tem direção dada pelo vetor $\left(2,\, \sqrt{3}\right)$ . Logo, a equação vetorial dessa reta é $(x,\, y) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\, 1\right) + k\left(2,\, \sqrt{3}\right)$ .

Agora, deixo para você o trabalho de passar essa equação da reta para a forma cartesiana.

Solução 2
Se você quiser usar a estratégia de transformar a equação paramétrica em equação cartesiana, então basta fazer o que segue abaixo.

Elevando ao quadrado ambos os membros das equações originais:
$x^2 = \frac{\textrm{tg}\,^2 t}{4}$
$y^2 = \frac{\sec^2 t}{4}$

Subtraindo essas equações:
$x^2 - y^2= \frac{\textrm{tg}\,^2 t - \sec^2 t}{4}$

Usando a identidade trigonométrica $\textrm{tg}\,^2 x + 1 = \sec^2 x$ :

$x^2 - y^2 = -\frac{1}{4}$

Usando derivação implícita:
$2x - 2yy^\prime = 0$

$y^\prime = \frac{x}{y}$

Lembrando que o ponto desejado é $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\, 1\right)$ :
$y^\prime = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Portanto, a reta tangente será:
$y - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Novamente, deixo para você o trabalho de terminar de arrumar a equação da reta.

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