Integral Estranha

por **OtavioBonassi** » Sáb Jan 15, 2011 14:57

"O valor de $\int_{0}^1 \frac {4x^2 - 4x}{(x+1)(x^2 + 1)} dx$ é : "

Galera, tentei fazer essa integral por aquele método de divisao de polinomios ,e fazer A + B + C etc etc mas não deu certo nao ,alguem tem alguma idéia ?

por **MarceloFantini** » Sáb Jan 15, 2011 19:55

Como você fez a divisão? Talvez tenha feito errado.

por **OtavioBonassi** » Dom Jan 16, 2011 01:15

Então Fantini ,mas acho que nao é por esse jeito que eu tava fazendo não cara, sei lá
porque a resposta pro exercicio é 4ln2 - pi ,da onde raios eu vou tirar um pi fazendo por esse método ?! Seguindo esse caminho ai eu vou cair em umas integrais de polinomios, sem idéia de como chegar nesse resultado

por **MarceloFantini** » Dom Jan 16, 2011 14:55

Ainda não consegui resolver. Curiosidade: de onde tirou essa integral?

por **OtavioBonassi** » Dom Jan 16, 2011 16:40

Tirei da prova de transferência USP 2009

por **Santa Lucci** » Qui Fev 03, 2011 15:37

Olá, tudo bom? Segue a minha resolução, perdoe-me pelos possíveis erros.

$\int_{0}^1 \frac {4x^2 - 4x}{(x+1)(x^2 + 1)} dx$

Usando o método das frações parciais...

$\frac {4x^2-4x}{(x+1)(x^2 + 1)} = \frac {A}{x+1} + \frac {B}{x^2+1}$

4x^2-4x = A(x^2+1)+B(x+1)

$4x^2-4x \equiv Ax^2+A+Bx+B$

Montando e resolvendo um sistema de equações, descobrimos que
A=4

e

Então,
$\int_{0}^1 \frac {4x^2 - 4x}{(x+1)(x^2 + 1)} dx = \int_{0}^1 \frac {4}{x+1} - \frac{4}{x^2+1} dx$

Como a integral indefinida de $\frac {1}{x+1}$ é ln(x+1) + c

; e a de $\frac {1}{x^2+1}$ é arctg(x)+c

, temos (já substituindo os extremos de integração),

$\int_{0}^1 \frac {4}{x+1} - \frac{4}{x^2+1} dx = 4 [ln(2)-ln(1)] - 4[arctg(1)-arctg(0)]$

Portanto,
$\int_{0}^1 \frac {4x^2 - 4x}{(x+1)(x^2 + 1)} dx = 4 ln(2) - \pi$

Att,
Santa Lucci.

por **Santa Lucci** » Qui Fev 03, 2011 15:38

Olá, tudo bom? Segue a minha resolução, perdoe-me pelos possíveis erros.

$\int_{0}^1 \frac {4x^2 - 4x}{(x+1)(x^2 + 1)} dx$

Usando o método das frações parciais...

$\frac {4x^2-4x}{(x+1)(x^2 + 1)} = \frac {A}{x+1} + \frac {B}{x^2+1}$

4x^2-4x = A(x^2+1)+B(x+1)

$4x^2-4x \equiv Ax^2+A+Bx+B$

Montando e resolvendo um sistema de equações, descobrimos que
A=4

e

Então,
$\int_{0}^1 \frac {4x^2 - 4x}{(x+1)(x^2 + 1)} dx = \int_{0}^1 \frac {4}{x+1} - \frac{4}{x^2+1} dx$

Como a integral indefinida de $\frac {1}{x+1}$ é ln(x+1) + c

; e a de $\frac {1}{x^2+1}$ é arctg(x)+c

, temos (já substituindo os extremos de integração),

$\int_{0}^1 \frac {4}{x+1} - \frac{4}{x^2+1} dx = 4 [ln(2)-ln(1)] - 4[arctg(1)-arctg(0)]$

Portanto,
$\int_{0}^1 \frac {4x^2 - 4x}{(x+1)(x^2 + 1)} dx = 4 ln(2) - \pi$

Att,
Santa Lucci.

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