Dúvida: Limite com indeterminação 0/0

por **Samira** » Sáb Nov 27, 2010 20:04

Boa Noite pessoal!

O Problema é: $\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}} \frac{tg2x}{x-\frac{\pi}{2}}$
Solução: 2.

Substituindo o x por $\frac{\pi}{2}$ cheguei a indeterminação $\frac{0}{0}$

Depois de tentar as outras regras para resolver a indeterminação, usei a substituição de variável:

$a=x-\frac{\pi}{2}$ e ; $x=a+\frac{\pi}{2}$

Quando

se Aproxima de $\frac{\pi}{2}$ ,

se aproxima de 0.

Ficou dessa forma: $\lim_{a\rightarrow0} \frac{tg(2a+\pi)}{a}$

E não consegui sair da indeterminação... Se alguém puder me dar uma dica, uma luz para prosseguir com o cálculo agradeceria muito mesmo! :y:

por **Elcioschin** » Sáb Nov 27, 2010 22:42

Vou tentar

Faça: a = x - pi/2 ----> x = a + pi/2 ----> x = (2a + pi)/2 ----> 2x = 2a + pi ----> x ----> pi/2 ----> a ---> 0

tg(2a + pi)/a = [sen(2a + pi)/cos(2a + pi)]/a = [(sen2a*cospi)/cos2a*cospi]/a = sen2a/a*cos2a = 2*sena*cosa/a*cos2a

tg(2a + pi)/a = (2*cosa/cos2a)*(sena/a)

Temos agora

Limite (sena/a) = 1 ----> Limite Fundamental
a-->0

Logo, o limite para a ---> 0 vale:

(2*1/1)*1 = 2

por **Samira** » Sáb Nov 27, 2010 23:49

Consegui agora, faltava lembrar da identidade trigonométrica xD

O Problema é: $\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}} \frac{tg2x}{x-\frac{\pi}{2}}$
Solução: 2.

Substituindo o x por $\frac{\pi}{2}$ cheguei a indeterminação $\frac{0}{0}$

Substituição de variável: $a=x-\frac{\pi}{2}$ e ; $x=a+\frac{\pi}{2}$

Quando

se Aproxima de $\frac{\pi}{2}$ ,

se aproxima de 0.

$\lim_{a\rightarrow0} \frac{tg(2a+\pi)}{a}$

Aplicando a identidade trigonométrica... $\lim_{a\rightarrow0} \frac{1}{a} \frac{tg\:2a+tg\pi}{1-tg2a\:tg\pi}$
$\lim_{a\rightarrow0} \:\frac{1}{a} \frac{sin\:2a}{cos\:2a}$

Então,

$sin\:2a= 2\,sin\,a\,cos\,a$

$\lim_{a\rightarrow0} \:\frac{1}{a} \;\frac{2sin\,a \:cos \,a}{cos\:2a}$ e ai ficou $\lim_{a\rightarrow0} \:\frac{sin\,a}{a}=1$

$\lim_{a\rightarrow0} \: 1\frac{2 cos\,0}{cos\,0}$

Obrigada Elcioschin

por **andrefahl** » Dom Nov 28, 2010 00:06

Bom só pra lembrar tb,

quando se tem indeterminações do tipo 0/0 ou infinito sobre infinito
pode-se usar a regra de L'Hospitall =)

deriva em cima e embaixo ateh se livrar da indeterminação =)
pode ser q de menos trabalho!