ITA - ângulos , altura h e H

por **PeterHiggs** » Ter Jul 31, 2012 17:36

Olá pessoal, estou com uma dúvida nessa questão do ITA, se eu não me engano é de 1995, mas não tenho lá muita certeza!

(ITA) - Um dispositivo colocado no solo a uma distância d de uma torre dispara dois projéteis em trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um ângulo $\theta$ ? $(0,\frac{\pi}{4})$ , atinge a torre a uma altura h. Se o segundo, disparado sob um ângulo 2 $\theta$ , atinge-a a uma altura H, a relação entre as duas alturas será:

a) H = $\frac{2hd^2}{(d^2-h^2)}$

b) H = $\frac{2hd^2}{(d^2+h)}$

c) H = $\frac{2hd^2}{(d^2-h)}$

d) H = $\frac{2hd^2}{(d^2+h^2)}$

e) H = $\frac{hd^2}{(d^2+h)}$

Bom, tentei resolver aqui, mas acabei emperrando. Vou colocar um desenho pra facilitar o entendimento do meu raciocínio:

: ITA - ângulo.png (4.47 KiB) Exibido 6115 vezes

$x = \sqrt{d^2+H^2}$

e

y^2 = d^2 + h^2

$y = \sqrt{d^2+h^2}$

Além disso:

$sen\theta=\frac{h}{y} = \frac{h}{\sqrt{d^2+h^2}}$

$cos\theta = \frac{d}{y}=\frac{d}{\sqrt{d^2+h^2}}$

Por fim:

$sen 2\theta = \frac{H}{x}$ >>>>>>>>>>>> $2sen\theta cos\theta = \frac{H}{\sqrt{d^2+H^2}}$

Aí, eu substituo os valores de $sen\theta$ e $cos\theta$ , entretanto ,não tenho como isolar o H. Ficaria assim:

$\frac{H}{\sqrt{d^2+H^2}} = \frac{2hd}{(d^2+h^2)}$

Não consigo isolar o H, entendem. Alguém pode ajudar?

por **Russman** » Ter Jul 31, 2012 18:10

Você procedeu de maneira correta.

Note que

$\frac{H}{\sqrt{d^2 + H^2}} = \frac{2hd}{d^2+h^2}\Rightarrow \frac{H(d^2+h^2)}{2hd}=\sqrt{d^2+H^2}\Rightarrow d^2+H^2 = \frac{H^2(d^2+h^2)^2}{4h^2d^2}$

$\Rightarrow 4h^2d^4 + 4H^2h^2d^2 = H^2(d^2+h^2)^2 \Rightarrow H^2(-4h^2d^2 + d^4 +h^4+2h^2d^2) = 4h^2d^4$

$\Rightarrow H^2 = \frac{4h^2d^4}{(d^2-h^2)^2}\Rightarrow H=\frac{2hd^2}{\left |d^2-h^2 \right |}$