teorema de Tales e semelhança de triângulos

por **Sal** » Sáb Mar 17, 2012 16:33

(UESPI-PI) Entre os pontos A e B de uma região plana passa um rio retilíneo com 20 m de largura. Um caminho constituído de estradas retilíneas e uma ponte sobre o rio devem ser construídos conectados os pontos A e B, A distância entre A e a margem do rio é de 30 m. e a distância entre B e a margem do rio é de 40 m. A ponte deve ser perpendicular às margens retilíneas do rio, como ilustra a seguir,
Qual o menor comprimento possível do caminho? Resposta correta 270 m.

Esta atividade esta relacionada no livro como semelhança de triângulos e estamos utilizando razões para sua resoluções. Dessa forma não conseguimos encontrar a solução e resolvemos pelo teorema de Pitágoras desconsiderando a ponte e o rio
${70}^{2}+ {240}^{2}={ab}^{2} AB = 250 AB + 20 (largura do rio) = 270 m$

Gostaria de saber se posso considerar AB um segmento contínuo.

por **LuizAquino** » Dom Mar 18, 2012 01:26

Sal escreveu:(UESPI-PI) Entre os pontos A e B de uma região plana passa um rio retilíneo com 20 m de largura. Um caminho constituído de estradas retilíneas e uma ponte sobre o rio devem ser construídos conectados os pontos A e B, A distância entre A e a margem do rio é de 30 m. e a distância entre B e a margem do rio é de 40 m. A ponte deve ser perpendicular às margens retilíneas do rio, como ilustra a seguir,
Qual o menor comprimento possível do caminho? Resposta correta 270 m.

ativ rio.jpg (27.66 KiB) Exibido 4242 vezes

Sal escreveu:
Esta atividade esta relacionada no livro como semelhança de triângulos e estamos utilizando razões para sua resoluções. Dessa forma não conseguimos encontrar a solução e resolvemos pelo teorema de Pitágoras desconsiderando a ponte e o rio
${70}^{2}+ {240}^{2}={ab}^{2} AB = 250 AB + 20 (largura do rio) = 270 m$

Gostaria de saber se posso considerar AB um segmento contínuo.

Você não pode (magicamente) desconsiderar o rio e a ponte, criando assim um triângulo retângulo de hipotenusa AB e de catetos 70 e 240. A não ser que você justifique porque isso pode ser feito.

O menor caminho será dado quando os dois triângulos retângulos AMC e BND forem semelhantes (vide a figura abaixo).

: ativ rio2.jpg (56.63 KiB) Exibido 4242 vezes

Podemos então montar o sistema:

$\begin{cases} x + y = 240 \\ \\ \dfrac{x}{y} = \dfrac{30}{40} \end{cases}$

Resolvendo esse sistema, obtemos que $x = \frac{720}{7}$ e $y = \frac{960}{7}$ .

Temos então que:

$\overline{AC}^2 = 30^2 + \left(\dfrac{720}{7}\right)^2 \Rightarrow \overline{AC} = \dfrac{750}{7}$

$\overline{BD}^2 = 40^2 + \left(\dfrac{960}{7}\right)^2 \Rightarrow \overline{AC} = \dfrac{1.000}{7}$

O comprimento L do caminho será:

$L = \dfrac{750}{7} + 20 + \dfrac{1.000}{7} \Rightarrow L = 270$

Observação

Você provavelmente deve estar se perguntando: "mas por que a minha resolução deu certo?".

A sua resolução só deu certo, pois na figura os triângulos retângulos AMC e BND são semelhantes e as margens do rio são paralelas. Desse modo, como MC e ND são paralelos e AM e BN são paralelos, temos que AC e BD são paralelos. Deslocando BD paralelamente até que o ponto D encontre o ponto C, podemos formar um triângulo retângulo de hipotenusa AB e de catetos 70 e 240. Se você tivesse explicado isso, então a sua solução estaria correta.