(Fuvest) Relações Métricas em Triângulos Quaisquer - Ajudem!

por **kamillanjb** » Sex Jul 22, 2011 15:00

(Fuvest 93) A corda comum de dois círculos que se interceptam é vista de seus centros sob ângulos de 90° e 60°, respectivamente, como é mostrado na figura a seguir. Sabendo-se que a distância entre seus centros é igual a (?3)+1, determine os raios dos círculos.

Gente, por favor me ajude! Meus resultados não estão batendo!!

por **FilipeCaceres** » Sex Jul 22, 2011 21:18

Olá kamillanjb,

: Fuvest_93.png (7.05 KiB) Exibido 6882 vezes

Veja a figura e perceba que podemos escrever as seguintes relações:
x=rsin45=Rsin30

$x=\frac{r\sqrt{2}}{2}=\frac{R}{2}$
$R=r\sqrt{2}$

$y=Rcos30=\frac{R\sqrt{3}}{2}$

Temos que,
$x+y=\sqrt{3}+1$

$\frac{r\sqrt{2}}{2}+\frac{R\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}+1$

$r\sqrt{2}+r\sqrt{6}=2(\sqrt{3}+1)$

$r=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}.\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}=\frac{2.2\sqrt{2}}{4}$

$\boxed{r=\sqrt{2}\therefore\,R=2}$

Se alguém tiver uma forma mais fácil. :-D