[circunferências] Dúvida questão Urgente!

por **garrincha** » Sex Abr 11, 2008 23:53

(Unicamp-SP)Um ciclista pedala uma bicicleta com rodas de mesmo diâmetro e com distância entre os eixos de 1,20m.Num determinado instante ele vira o guidão em 30 (graus) e o mantêm nessa posição para andar em círculo.Calcule os raios dos círculos descritos pelas rodas dianteira e traseira da bicicleta.

por **admin** » Sáb Abr 12, 2008 01:33

Olá garrincha, seja bem-vindo!

Este exercício é bem interessante.
Mas, por favor, leia as regras do fórum.
Aqui é fundamental seu comentário sobre tentativas e dificuldades.

Como dica, sugiro seguir os seguintes passos:

1) Imagine "enxergar" a bicicleta de cima.
Reflita sobre a trajetória de cada roda.
Inicialmente, considere em linha reta, depois "vire o guidão" aos poucos;

2) Em seguida, pense como deveria ficar o guidão para que a roda traseira circulasse sobre um único ponto, ou seja, para que não houvesse círculo descrito pela roda traseira.
Concorda que neste nosso outro exemplo, o guidão deveria ficar alinhado com a roda traseira, em outras palavras, a roda dianteira deveria formar um ângulo de 90^o

com a roda traseira?
Pois bem, citei este caso particular apenas para facilitar a visualização de que a roda tangencia o círculo formado pela trajetória;

3) Então, tente desenhar esta visão superior planificada (em duas dimensões).
Comece pelas rodas alinhadas representadas por dois segmentos de reta iguais, considerando a distância de 1,2m entre seus centros;

4) Desenhe novamente a roda dianteira com a inclinação de 30^o

;

5) Trace uma perpendicular a cada roda, passando pelo seus respectivos centros.
Repare que a intersecção destas perpendiculares é o centro das duas trajetórias circulares;

6) Com um compasso, marque o raio maior e faça o círculo da trajetória dianteira;

7) Marque o raio menor da mesma forma e faça o círculo da trajetória traseira;

8) Una os dois pontos médios dos segmentos que representam as rodas;

9) Veja o triângulo retângulo principal obtido. Prolongue o segmento da roda dianteira inclinada e obtenha outro triângulo retângulo menor;

10) Marque todos os ângulos, considerando: o ângulo oposto pelo vértice, semelhança de triângulos e soma de ângulos internos de um triângulo;

11) Repare e anote na figura que: a hipotenusa do triângulo retângulo maior é o raio R_d

do círculo descrito pela roda dianteira;

12) O raio R_t

do círculo descrito pela roda traseira é o cateto adjacente ao ângulo de 30^o

, no mesmo triângulo;

13) Calcule os raios R_d

e

com seno e tangente, respectivamente;

Espero ter ajudado e:
14) Aguardo seus comentários.

Caso tenha a resposta, favor confirmar:
R_d = 2,4

metros

$R_t = 1,2 \sqrt{3}$ metros

Vamos conversando...

por **garrincha** » Sáb Abr 12, 2008 18:16

Caro Fábio,muito grato pela resposta.O problema foi de interpretação e abstração.A questão,respondida de maneira brilhante,e com uma linguagem bastante clara e precisa,está com o gabarito correto.Vejo q usou os conceitos de mediatriz (raio das circ.) para descrever a situação,bem como a semelhança de triângulos.Peço q me oriente no uso correto do fórum,pois sou péssimo em computador.Realmente estou muito grato pela sua atenção e paciência.Saudações.

por **admin** » Sáb Abr 12, 2008 21:27

Olá!
Realmente, como você disse, as mediatrizes dos segmentos das rodas são raios das circunferências.
Na construção do desenho optei por chamá-las de perpendiculares que passam pelo centro dos segmentos.
Sobre a semelhança dos triângulos retângulos, há um teorema relacionado:

Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa determina dois triângulos retângulos semelhantes ao primeiro e semelhantes entre si.

A demonstração utiliza o primeiro caso AA de semelhança de triângulos (ângulo-ângulo).
Depois, será interessante finalizarmos este tópico com uma figura.

Sobre o uso do fórum, é simples. Em resumo:
1) Juntamente com o enunciado, envie também comentários sobre suas tentativas e dificuldades, especificando as dúvidas;
2) Caso haja expressões matemáticas no exercício, utilize LaTeX na postagem, através do botão "editor de fórmulas".

Bons estudos.
Até mais!

por **admin** » Qua Abr 23, 2008 14:18

Idéia inicial da visão superior:

por **admin** » Sex Mai 09, 2008 18:55

Uma figura com mais detalhes:

Zoom na região mais importante:

Onde as circunferências C_1

e

possuem raio de mesma medida ("Um ciclista pedala uma bicicleta com rodas de mesmo diâmetro...").
E AB = 1,2

("...com distância entre os eixos de 1,20m...").

Obtendo R_d

:
$sen30^o = \frac{AB}{R_d}$

$\frac12 = \frac{1,2}{R_d}$

$R_d = 1,2 \cdot 2 = 2,4$ metros

Obtendo R_t

:
$tg30^o = \frac{AB}{R_t}$

$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1,2}{R_t}$

$R_t = \frac{1,2 \cdot 3}{\sqrt{3}} = 1,2\sqrt{3}$ metros

por **Mi_chelle** » Seg Mar 28, 2011 17:55

Olá,
Fiz questão de me registrar, para agradecer a ajuda!!
Ao ler o enunciado em minha apostila, achei que nunca iria resolver a questão. Quando pesquisei na internet, achei aqui a solução para o problema.
A resolução matemática é simples, a chave é a visualização do trajeto das rodas.
E com os ótimos comentário e desenho, feito de maneira simples, consegui resolver rapidamente a questão.
Obrigada mais uma vez,
Mi.