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[circunferências] Dúvida questão Urgente!

[circunferências] Dúvida questão Urgente!

Mensagempor garrincha » Sex Abr 11, 2008 23:53

(Unicamp-SP)Um ciclista pedala uma bicicleta com rodas de mesmo diâmetro e com distância entre os eixos de 1,20m.Num determinado instante ele vira o guidão em 30 (graus) e o mantêm nessa posição para andar em círculo.Calcule os raios dos círculos descritos pelas rodas dianteira e traseira da bicicleta.
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Re: Dúvida questão Urgente!

Mensagempor admin » Sáb Abr 12, 2008 01:33

Olá garrincha, seja bem-vindo!

Este exercício é bem interessante.
Mas, por favor, leia as regras do fórum.
Aqui é fundamental seu comentário sobre tentativas e dificuldades.


Como dica, sugiro seguir os seguintes passos:

1) Imagine "enxergar" a bicicleta de cima.
Reflita sobre a trajetória de cada roda.
Inicialmente, considere em linha reta, depois "vire o guidão" aos poucos;

2) Em seguida, pense como deveria ficar o guidão para que a roda traseira circulasse sobre um único ponto, ou seja, para que não houvesse círculo descrito pela roda traseira.
Concorda que neste nosso outro exemplo, o guidão deveria ficar alinhado com a roda traseira, em outras palavras, a roda dianteira deveria formar um ângulo de 90^o com a roda traseira?
Pois bem, citei este caso particular apenas para facilitar a visualização de que a roda tangencia o círculo formado pela trajetória;

3) Então, tente desenhar esta visão superior planificada (em duas dimensões).
Comece pelas rodas alinhadas representadas por dois segmentos de reta iguais, considerando a distância de 1,2m entre seus centros;

4) Desenhe novamente a roda dianteira com a inclinação de 30^o;

5) Trace uma perpendicular a cada roda, passando pelo seus respectivos centros.
Repare que a intersecção destas perpendiculares é o centro das duas trajetórias circulares;

6) Com um compasso, marque o raio maior e faça o círculo da trajetória dianteira;

7) Marque o raio menor da mesma forma e faça o círculo da trajetória traseira;

8) Una os dois pontos médios dos segmentos que representam as rodas;

9) Veja o triângulo retângulo principal obtido. Prolongue o segmento da roda dianteira inclinada e obtenha outro triângulo retângulo menor;

10) Marque todos os ângulos, considerando: o ângulo oposto pelo vértice, semelhança de triângulos e soma de ângulos internos de um triângulo;

11) Repare e anote na figura que: a hipotenusa do triângulo retângulo maior é o raio R_d do círculo descrito pela roda dianteira;

12) O raio R_t do círculo descrito pela roda traseira é o cateto adjacente ao ângulo de 30^o, no mesmo triângulo;

13) Calcule os raios R_d e R_t com seno e tangente, respectivamente;

Espero ter ajudado e:
14) Aguardo seus comentários.


Caso tenha a resposta, favor confirmar:
R_d = 2,4 metros

R_t = 1,2 \sqrt{3} metros

Vamos conversando...
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Re: Dúvida questão Urgente!

Mensagempor garrincha » Sáb Abr 12, 2008 18:16

Caro Fábio,muito grato pela resposta.O problema foi de interpretação e abstração.A questão,respondida de maneira brilhante,e com uma linguagem bastante clara e precisa,está com o gabarito correto.Vejo q usou os conceitos de mediatriz (raio das circ.) para descrever a situação,bem como a semelhança de triângulos.Peço q me oriente no uso correto do fórum,pois sou péssimo em computador.Realmente estou muito grato pela sua atenção e paciência.Saudações.
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Re: Dúvida questão Urgente!

Mensagempor admin » Sáb Abr 12, 2008 21:27

Olá!
Realmente, como você disse, as mediatrizes dos segmentos das rodas são raios das circunferências.
Na construção do desenho optei por chamá-las de perpendiculares que passam pelo centro dos segmentos.
Sobre a semelhança dos triângulos retângulos, há um teorema relacionado:
Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa determina dois triângulos retângulos semelhantes ao primeiro e semelhantes entre si.

A demonstração utiliza o primeiro caso AA de semelhança de triângulos (ângulo-ângulo).
Depois, será interessante finalizarmos este tópico com uma figura.


Sobre o uso do fórum, é simples. Em resumo:
1) Juntamente com o enunciado, envie também comentários sobre suas tentativas e dificuldades, especificando as dúvidas;
2) Caso haja expressões matemáticas no exercício, utilize LaTeX na postagem, através do botão "editor de fórmulas".


Bons estudos.
Até mais!
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Re: Dúvida questão Urgente!

Mensagempor admin » Qua Abr 23, 2008 14:18

Idéia inicial da visão superior:
bicicleta_unicamp1.jpg
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Re: Dúvida questão Urgente!

Mensagempor admin » Sex Mai 09, 2008 18:55

Uma figura com mais detalhes:
bicicleta_unicamp2.jpg


Zoom na região mais importante:
bicicleta_unicamp3.jpg


Onde as circunferências C_1 e C_2 possuem raio de mesma medida ("Um ciclista pedala uma bicicleta com rodas de mesmo diâmetro...").
E AB = 1,2 ("...com distância entre os eixos de 1,20m...").


Obtendo R_d:
sen30^o = \frac{AB}{R_d}

\frac12 = \frac{1,2}{R_d}

R_d = 1,2 \cdot 2 = 2,4 metros



Obtendo R_t:
tg30^o = \frac{AB}{R_t}

\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1,2}{R_t}

R_t = \frac{1,2 \cdot 3}{\sqrt{3}} = 1,2\sqrt{3} metros
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Re: [circunferências] Dúvida questão Urgente!

Mensagempor Mi_chelle » Seg Mar 28, 2011 17:55

Olá,
Fiz questão de me registrar, para agradecer a ajuda!!
Ao ler o enunciado em minha apostila, achei que nunca iria resolver a questão. Quando pesquisei na internet, achei aqui a solução para o problema.
A resolução matemática é simples, a chave é a visualização do trajeto das rodas.
E com os ótimos comentário e desenho, feito de maneira simples, consegui resolver rapidamente a questão.
Obrigada mais uma vez,
Mi.
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.