um quadrado traçando circunferências

por **maykonnunes** » Sex Jun 17, 2011 23:44

Dado um quadrado de lado x, com centro em cada um dos vértices, traçam-se 4 circunferência de raio x. Determine a área do quatrilátero curvilíneo interior ao quadrado.

por **vanessafey** » Sex Jun 24, 2011 13:36

Não consigo desenvolver... Acredito que seja uma figura do tipo:

Sendo assim, todas as circunferências tem um quarto de sua parte dentro do quadrado, ou seja (?r^2)/4.

Para calcular o setor que falta faremos a área do quadrado menos o que já temos A_(Q=) x^2-(?r^2)/4

A partir daí não sei mais como continuar...

por **FilipeCaceres** » Sex Jun 24, 2011 15:23

Acho que você desenhou errado, acredito que o desenho correto seja este

: quadrado.png (15.12 KiB) Exibido 3325 vezes

E o que se pede é a área em verde.

por **maykonnunes** » Sex Jun 24, 2011 15:27

sim felipe está certo seu desenho

por **vanessafey** » Sex Jun 24, 2011 15:34

Então podemos traçar um triângulo eqüilátero através da intersecção entre as circunferências e os vértices do quadrado.
Por se tratar de um triângulo eqüilátero, sabemos que o mesmo também é eqüiângulo, logo, seus ângulos internos são de 60°.

Calculando a área circular deste triângulo temos que,

(60?x^2)/360?(?x^2)/6

Seria assim?? E agora? Como continuo?

por **FilipeCaceres** » Sex Jun 24, 2011 19:26

: quadrado_setor.png (17.59 KiB) Exibido 3301 vezes

A área procurada é igual à área de um quadrado de lado b mais 4 vezes a área do segmento circular sombreado em verde.
1) Calcular o lado do quadrado
Seja $\alpha =30$ logo,
b^2=a^2+a^2-2.a.a.cos 30

$\boxed{b^2=(2-\sqrt{3})a^2}$

2) Calcular a área do seguimento circular
$S_{seg}=S_{setor}-S_{\Delta AEG}$

$S_{seg}=\frac{\pi a^2}{12}-\frac{a.a.sin 30}{2}$

$\boxed{S_{seg}=\left(\frac{\pi}{12}-\frac{1}{4}\right)a^2}$

3)Área desejada
$S=b^2+4.S_{seg}$

$S=(2-\sqrt{3})a^2+4.\left(\frac{\pi}{12}-\frac{1}{4}\right)a^2$

$\boxed{S=\frac{(\pi +3-3\sqrt{3})a^2}{3}}$

PS.: Eu calculei com o lado do quadrado ABCD valendo "a" pois não consegui definir como x no geogebra. :-O

Fazendo a=x, temos a resposta: $\boxed{\boxed{S=\frac{(\pi +3-3\sqrt{3})x^2}{3}}}$

Espero que seja isso.

por **vanessafey** » Sáb Jun 25, 2011 16:39

Sim, é exatamente isso.

Agora te pergunto: No geogebra conseguimos observar que alfa é 30º, mas teoricamente, não sei como provar isso...

por **FilipeCaceres** » Sáb Jun 25, 2011 17:02

Como temos uma quadrado os pontos E e G dividem o o arco BD em 3 partes iguais, sendo assim o ângulo de cada arco terá um valor igual a 30.

Abraço.

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