aresta da base - piramide

por **DCristina** » Qua Mai 19, 2010 00:24

Seja uma piramide hexagonal regular com apotema de base igual a (x+4) cm e altura igual a (3x-3)cm. Se o volume desta piramide é igual a $648\sqrt[2]{3}$ cm³, então o lado da base mede, em cm....

Tenho pensando neste exercicio há uns dois dias, porém não consigo concluí-lo...

Primeiramente utilizo a formula do cálculo de volume de uma piramide, substituindo os dados do problema e obtenho a seguinte equação:
${l}^{2}=\frac{1296}{3x-3}$
na proxima etapa de resolução, utilizo o valor do lado elevado ao quadrado na idéia da relação entre apótema e lado do hexagono regular:
${l}^{2}={(l/2)}^{2}+{a}^{2}$
aí então recaio numa equação de terceiro grau e não concluo nada...

solicito e agradeço as ajudas prestadas

Cristina

por **Adriano Tavares** » Dom Jan 01, 2012 20:26

Olá,DCristina.

: aresta da base - piramide; aresta da base - piramide.gif (6.29 KiB) Exibido 3486 vezes

Sendo a base um hexágono regular, ele é formado por seis triângulos equiláteros.Note que o apótema é igual a altura do triângulo equilátero.

$x+4=\frac{l\sqrt{3}}{2} \Rightarrow l=\frac{2x+8}{\sqrt{3}} \Rightarrow l^2=\frac{4x^2+32x+64}{3}$

$x=\frac{l\sqrt{3}-8}{2}$

$V_p=\frac{1}{3}A_b.h \Rightarrow 648\sqrt{3}=\frac{1}{3}.6.\frac{l^2\sqrt{3}}{4}.h \Rightarrow 648\sqrt{3}=\frac{1}{2}l^2\sqrt{3}.h \Rightarrow l^2.h=1296$

Substituindo os valores de

e

teremos:

$(\frac{4x^2+32x+64}{3}).3(x-1)=1296 \Rightarrow 4x^3+32x^2+64x-4x^2-32x-64=1296$

$4x^3+28x^2+32x-1360=0 \Rightarrow x^3+7x^2+8x-340=0$

Fazendo-se uma pesquisa verifica-se que

é uma raiz do polinômio.

$l=\frac{2x+8}{\sqrt{3}} \Rightarrow l=\frac{2.5+8}{\sqrt{3}} \Rightarrow l=6\sqrt{3}$