Pirâmide

por **renataf** » Seg Nov 29, 2010 10:06

uma caixa na forma de um paralelepípedo de base quadrada contém uma pirâmide, cujos vértices da base são os pontos médios das arestas do fundo da caixa. O vértice superior da pirâmide toca a tampa da caixa. A razão entre os volumes da pirâmide e da caixa é igual a:

A)1/3
B)1/4
C)1/6
D)1/8
E)1/12

A resposta correta é a C, mas eu tentei fazer e só consigo chegar na letra E.

Minha resolução fica assim;

O volume da pirâmide: $\frac{Ab x H}{3}$

$\frac{\left(L{}^{2} \right) x H}{3}$ (já q a base da pirâmide está inserida numa caixa de base quadrada, logo a base da pirâmide é um quadrado)

${\left(\frac{Lc}{2} \right)}^{2}$ x $\frac{Lc}{3}$ (eu coloquei lado da caixa sobre 2 pq ele diz q os vértices da base são os pontos médios das arestas do fundo da caixa e H=lado da caixa pq a piramide esta inserida na caixa e a ponta dela bate na tampa da caixa)

Resolvendo fica: $\frac{\left(Lc{}^{3} \right)}{12}$

O volume da caixa é : ${Lc}^{3}$

a razao: $\frac{\left(\frac{{Lc}^{3}}{12}\right)}{{Lc}^{3}}$

Aí vai ficar: $\frac{1}{12}$

Não sei no que estou errando. Gostaria q alguém me ajudasse.

por **fttofolo** » Seg Nov 29, 2010 10:36

Temos que o volume do paralelepípedo é:
V=a^2.h (área da base x altura), como a base é um quadrado de lado a.
A base da pirâmide tem seus vértices nos pontos médios do quadrado do paralelepípedo, logo
a base da pirâmide vai ser um quadrado inscrito no quadrado do paralelepípedo (ver figura em anexo)
Então usamos a fórmula da diagonal para descobrirmos o valor do lado da base da pirâmide:
$d=l\sqrt[2]{2}$
$a=l\sqrt[2]{2}$ $l=\frac{a\sqrt[2]{2}}{a}$
Temos que oo volume do paralelepípedo é ${V}_{paral}={a}^{2}.h$
Temos que o volume da pirâmide é ${V}_{piram}=\frac{1}{3}{\left(\frac{a\sqrt[2]{2}}{2} \right)}^{2}$
${V}_{piram}=\frac{1}{3}.\frac{{a}^{2}}{2}.h$
${V}_{piram}=\frac{{a}^{2}}{6}.h$
Razão entre volumes:
$\frac{\frac{{a}^{2}}{6}.h}{{a}^{2}.h}$
Logo a razão vai ser $\frac{1}{6}$

por **renataf** » Seg Nov 29, 2010 10:52

Obrigada pela ajuda! Foi falta de atenção minha.

por **fttofolo** » Seg Nov 29, 2010 11:09

Percebo que a maioria das pessoas (inclusive eu), não prestamos atenção a detalhes e as vezes cometemos erros, tenho procurado me policiar mais, pois leio com muita pressa e muitas vezes acabo errando.

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