[PONTO SIMÉTRICO]

por **renan_a** » Sáb Out 20, 2012 22:00

Olá, estou com um exercício que consegui resolver até certa parte, mas na hora que chegou na parte de calcular o ponto simétrico em relação ao plano, eu travei. O exercício é o seguinte:

Achar o ponto N, projeção ortogonal do ponto P(3,-1,-4) no plano determinado pelos pontos a(2,-2,3) , B(4,-3,-2) e c(0, -4, 5). Qual o ponto simétrico de P em relaçao a este pllano?

Comecei determinando o plano(multipliquei por -1) : $\pi$ : 2x - y + z -9 = 0

sabendo que a reta é r: x = 3 + 2t , y= -1 - t, z= -4 + t

e depois substituindo os valores do ponto P* da reta no plano, cheguei que t= 1

sendo t=1, o tal ponto será P*(5,-2,-3)

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Aí eu precido saber qual é o ponto simétrico de P em relação ao plano?

sei que seria tipo, Id(P,P*)I = Id(P, ?)I

lembrando que não posso colocar em fórmula, preciso descobrir esse outro ponto aí? alguém pode ajudar?

por **young_jedi** » Sáb Out 20, 2012 22:58

tenho uma solução, não sei se é a mais simples

com voce ja tem P e P* calcule a distancia entre os dois e então calcule a distancia entre o outro ponto e a o ponto P* e igua-le a essa distancia

$d_{PP*}=\sqrt{(5-3-2t)^2+(-2+1+t)^2+(-3+4-t)^2}$

voce vai encontrar dois valores de t um deles deve ser 0 que leva ao ponto P, o outro é o valor que voce vai usar para determinar o outro ponto.

por **renan_a** » Dom Out 21, 2012 14:40

tentei resolver aqui, mas acho que eu havia feito algo errado antes disso:

Vou começar do principio então:

AB( 2,-1,-5) , AC(-2,-2,2)
Fazendo o produto vetorial desses dois, descubro que n(-12,6,-6) e simplicando , encontrei n(-2,1,-1)

aí a equação do plano ficou -2x + y - z +9= 0

Como sei n e P, a equação paramétrica da reta que contém P e o vetor n, fica

r: x= 3-2t/ y= -1 +t/ z= -4-t

Agora substituo os valores do ponto P* no plano.

fazendo a substituição , descubro que t= -1

sendo t = -1, o ponto P*( 5,-2,-3)

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Agora eu tenho que descobrir o ponto simétrico.

Bom, o ponto P** seria como?

uso o ponto P* e o n? daí ficaria P**(5-2t, -2+t, -4-t)
está correto?

outra coisa, na tua última resposta, pelo que tu disse que ficaria, seria P** - P , não seria P**- P* ?

Muito obrigado pelas respostas