[Equação de planos] Verificar meu raciocínio

[MrJuniorFerr]

Olá pessoal, olhem este exercício:
Escreva as equações paramétricas do plano paralelo ao eixo z e que contém a interseção dos planos e .

Gabarito:




Eu o fiz, mas não tenho certeza se fiz corretamente pois não bateu com o gabarito. Por favor, analisem e vejam se meu raciocínio está correto.

A primeira coisa que fiz foi achar a interseção dos dois planos dados. Fiz o sistema por escalonamento, e achei este ponto ). Sabe-se que a interseção de dois planos é uma reta, portanto este ponto I é um ponto pertencente desta reta. Atribuindo valores ao x do ponto I, temos:
Atribuindo x=0,
encontramos este ponto da reta:
A(0,2,0)
Atribuindo x=1,
encontramos este ponto da reta:
B(1,-3,3)
Portanto, temos 2 pontos da reta e posso achar o vetor diretor , então temos .
Para achar a equação paramétrica do plano, preciso de mais um vetor que não seja colinear a . Somente com estes dados não sei achar mais um vetor não colinear ao vetor obtido.
Então, decidi primeiro encontrar a equação geral do plano.
Primeiro, atribui mais um valor ao x de para ter mais um ponto da reta (sei que não havia necessidade, pois eu poderia usar um dos pontos já obtidos, mas optei por faze-lo).
Atribuindo x=2,
obtive C(2,-8,6).
Então, para obter a equação geral do plano, tenho este ponto C e sei que o plano é paralelo ao eixo z, ou seja, a variável z é livre.
Então temos:
, dividindo a equação por a

, colocando e temos:

, substituindo o ponto C(2,-8,6)

, isolando o n

, substituindo o valor de n em

, atribuindo um valor a variável m







Portanto, encontrei a equação geral do plano a partir deste método que aprendi com o young_jedi daqui do ajudamatematica.com
Agora preciso achar mais um ponto qualquer pertencente a este plano e atribuindo valor ao x, temos




,

Então encontrei um ponto D(0,-7,0) pertencente ao plano.
Fazendo , encontro um vetor não colinear ao


Agora, tenho 2 vetores coplanares e e não colineares e o ponto A(0,2,0).
Então obtive que a equação paramétrica do plano é:





Estou certo? Obrigado

[young_jedi]

MrJuniorFerr

voce começou bem o exercicio
encontrando a equação da reta I, agora oque voce precisa é encontrar um vetor não colinear a
que seja coplanar, note que se o plano é paralelo ao eixo z um vetor um vetor coplanar seria



agora voce tem dois vetores não colineares e que definem o plano e

com esses dois da pra encontrar a equação do plano
não é necessario encontrar a forma geral da equação do plano, da maneira que voce estava fazendo seria muito mais trabalhoso.