Cônicas

por **Claudin** » Dom Mai 13, 2012 12:43

Determine o centro, os vértices e os focos da elipse 4x^2+y^2-8x+4y-8=0

Reduzindo a equação encontrei:

$\frac{(x^2-1)^2}{2^2}+\frac{(y^2+2)^2}{4^2}$

$a^2=16 \Leftrightarrow a=4$ logo, A_1A_2= 2a = 8

(Eixo Maior)
$b^2=4 \Leftrightarrow b=2$ logo, B_1B_2= 2b = 4

(Eixo Menor)

$a^2=b^2+c^2 \Leftrightarrow c=2\sqrt[]{3}$ logo, $F_1F_2 = 2c \Leftrightarrow 4\sqrt[]{3}$

$e=\frac{c}{a}\Leftrightarrow e = \frac{\sqrt[]{3}}{2}$

Portanto:
$F_1(x_o, y_o-c) = (1,-2-2\sqrt[]{3})$

$F_2(x_o, y_o+c) = (1,-2+2\sqrt[]{3})$

C(1,-2)

ou

Não sei direito qual o certo.

E os valores de A_1

e

também não consegui encontrar.

por **Claudin** » Dom Mai 13, 2012 13:05

Outra dúvida também seria o seguinte:

F_1(x_o - c, y_o)

ou

ou

Gostaria de saber quando se usa um ou o outro, ou se essa ordem não altera em nada?!

por **Claudin** » Dom Mai 20, 2012 16:03

por **DanielFerreira** » Dom Mai 20, 2012 18:39

================> $\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{16} = 1$

Para encontrar o centro faça:
x - 1 = 0
x = 1

y + 2 = 0
y = - 2

Centro (1, - 2)

Para encontrar os vétices devemos primeiro achar os eixos:
Marque o centro (1, - 2) da elipse no gráfico cartesiano, agora, marque o eixo maior e o eixo menor no gráfico com relação ao centro (1, - 2). Então, una os vértices.
Agora, olhe para o gráfico e determine os pontos com relação ao centro (0, 0).

Vértices: (- 1, - 2); (3, - 2); (1, 2) e (1, - 6)

Vale rassaltar que, a elipse cujo denominador é maior terá eixo maior na variável do seu numerador; nesse caso, o eixo maior está em "y", por isso a equação será:

$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ ========> a^2 > b^2

=====>

=====>

Daí,
$c = 2\sqrt[]{3}$ e $c = - 2\sqrt[]{3}$

Como sabemos que o eixo maior está em y, o foco será dado por:
$(1, - 2\sqrt[]{3})$ e $(1, 2\sqrt[]{3})$

por **Claudin** » Dom Mai 20, 2012 18:52

Os focos não seriam:

$(1,-2+2\sqrt[]{3})$

$(1,-2-2\sqrt[]{3})$

E ainda não consegui entender como chegar nesses resultados dos vértices, não sei como encontrar.

por **DanielFerreira** » Dom Mai 20, 2012 18:56

Claudin escreveu:Os focos não seriam:

$(1,-2+2\sqrt[]{3})$

$(1,-2-2\sqrt[]{3})$

E ainda não consegui entender como chegar nesses resultados dos vértices, não sei como encontrar.

Tens razão!
Vou desenhar aqui a figura, aí vc tenta seguir o que falei, vlw??