DÚVIDA EXERCÍCIO Distância entre pontos

[Danilo]

Pessoal, preciso da ajuda pra resolver um exercício sobre distância entre pontos. Vamos lá:

Dados A (5,2) e B (4,-1), vértices consecutivos de um quadrado, determine os outros dois vértices.

Bom, tentei fazer assim: vértice C (x,y) e vértice D (z,w). Como é um quadrado (lados iguais), então AB = AC = CD = DB sendo as distâncias entre os pontos A ao ponto B e por aí vai, pois é um quadrado. pelas distâncias dos pontos A a B vi que o quadrado tem lado e portnato a diagonal vale 2. Sendo assim tentei encontrar relações entre os pontos A (5,2) e C (x,y) sabendo que o comprimento = e também apelei pra diagonal... mas eu não cheguei a lugar algum! fiz e refiz mas não encontro solução. Quem puder dar uma luz, agradeço desde já!

[LuizAquino]

Dados A (5,2) e B (4,-1), vértices consecutivos de um quadrado, determine os outros dois vértices.

Bom, tentei fazer assim: vértice C (x,y) e vértice D (z,w). Como é um quadrado (lados iguais), então AB = AC = CD = DB sendo as distâncias entre os pontos A ao ponto B e por aí vai, pois é um quadrado. pelas distâncias dos pontos A a B vi que o quadrado tem lado e portnato a diagonal vale 2. Sendo assim tentei encontrar relações entre os pontos A (5,2) e C (x,y) sabendo que o comprimento = e também apelei pra diagonal... mas eu não cheguei a lugar algum! fiz e refiz mas não encontro solução. Quem puder dar uma luz, agradeço desde já!

Resolver utilizando distância é o caminho mais trabalhoso. É mais direto resolver utilizando vetores.

Temos que:



Se C é o vértice consecutivo a B, sabemos que é ortogonal a (já que ABCD é um quadrado).

Basta então fazer ou (note que em ambos os casos temos ).

Além disso, considerando D como o vértice consecutivo a C, temos que (já que ABCD é um quadrado).

Para o primeiro caso, teremos:





Para o segundo caso, teremos:





Podemos então ter dois quadrados distintos: A = (5, 2), B =(4, -1), C = (7, -2) e D = (8, 1); A = (5, 2), B =(4, -1), C = (1, 0) e D = (2, 3);

[Danilo]

Compreendi a sua resolução por vetores. Mas eu estou revendo o conteúdo básico de G.A e distancia entre pontos foi o que estudei até então. Se você puder dar uma luz sobre como resolver por distância entre pontos também, agradeço imensamente. E vlw pela resolução utilizando vetores.

[LuizAquino]

Compreendi a sua resolução por vetores. Mas eu estou revendo o conteúdo básico de G.A e distancia entre pontos foi o que estudei até então.

Para resolver esse exercício usando as distâncias, você precisa também estudar sobre retas perpendiculares.

Se você puder dar uma luz sobre como resolver por distância entre pontos também, agradeço imensamente.

Siga os seguintes passos:

1) determine a reta que passa por B e é perpendicular a reta que passa por A e B. Você deve encontrar: ;

2) determine o ponto P sobre a reta do passo 1) tal que d(P, B) = d(A, B). Note que o formato do ponto P será . Além disso, lembre-se que você irá encontrar dois pontos: P = (1, 0) ou P = (7, -2);

3) determine a reta que passa por A e é perpendicular a reta que passa por A e B. Você deve encontrar: ;

4) determine o ponto Q sobre a reta do passo 3) tal que d(Q, A) = d(A, B). Note que o formato do ponto Q será . Além disso, lembre-se que você irá encontrar dois pontos: Q = (8, 1) ou Q = (2, 3).

[Danilo]

Beleza professor, tentarei aqui, obrigado!

[Danilo]

Compreendi a sua resolução por vetores. Mas eu estou revendo o conteúdo básico de G.A e distancia entre pontos foi o que estudei até então.

Para resolver esse exercício usando as distâncias, você precisa também estudar sobre retas perpendiculares.

Se você puder dar uma luz sobre como resolver por distância entre pontos também, agradeço imensamente.

Siga os seguintes passos:

1) determine a reta que passa por B e é perpendicular a reta que passa por A e B. Você deve encontrar: ;

2) determine o ponto P sobre a reta do passo 1) tal que d(P, B) = d(A, B). Note que o formato do ponto P será . Além disso, lembre-se que você irá encontrar dois pontos: P = (1, 0) ou P = (7, -2);

3) determine a reta que passa por A e é perpendicular a reta que passa por A e B. Você deve encontrar: ;

4) determine o ponto Q sobre a reta do passo 3) tal que d(Q, A) = d(A, B). Note que o formato do ponto Q será . Além disso, lembre-se que você irá encontrar dois pontos: Q = (8, 1) ou Q = (2, 3).

Só mais umas perguntas: No exercício fala de dois vértices consecutivos, certo. São dois pontos que estão alinhados (vertices do quadrado), certo? Se estão alinhados então os dois pontos deveriam ter a mesma ordenada, certo? Por que eles não têm a mesma ordenada? Não entendi porque dá para determinar mais de 2 pontos e não apenas dois. (já que o exercício pede para determinar dois vértices que estão faltando.) Obrigado!

[LuizAquino]

Se estão alinhados então os dois pontos deveriam ter a mesma ordenada, certo? Por que eles não têm a mesma ordenada?

Errado. Dizer que dois pontos estão alinhados significa dizer que eles estão sobre uma mesma reta.

Dois pontos podem estar sobre uma mesma reta, mas não ter a mesma ordenada.

Por exemplo, suponha a reta y = 2x + 1.

Note que os pontos A = (1, 3) e B = (2, 5) estão sobre a essa reta, mas eles não possuem a mesma ordenada.

Não entendi porque dá para determinar mais de 2 pontos e não apenas dois.

Em uma folha de papel marque dois pontos A e B. Suponha que esses dois pontos sejam vértices consecutivos de um quadrado. Ou seja, AB é um lado desse quadrado. Quantos quadrados com lado AB será possível desenhar nessa folha de papel?

(já que o exercício pede para determinar dois vértices que estão faltando)

Note que em momento algum o enunciado do exercício afirma que esses dois pontos serão únicos.