[Cônicas] duvida.

por **Fabricio dalla** » Qui Dez 01, 2011 12:32

sabe-se que uma elipse de equaçao $\left(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} \right)+\left(\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} \right)=1$

tangencia internamente a circuferencia de equaçao ${x}^{2}+{y}^{2}=5$ e que a reta de equaçao 3x+2y=6 é tangente á elipse no ponto P.determine as coordenadas de P.

to pensando aqui ,quando ele n fala as coordenadas do centro eu posso afirmar que o centro da elipse é a origem do plano cartesiano? prq n consegui deduzir em que lugar a elipse esta.quem ajudar ficarei grato

por **TheoFerraz** » Qui Dez 01, 2011 13:44

de alguma forma sim, voce pode concluir isso! mas ele NUNCA dirá a seguinte coisa :

seja uma elipse $\left(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} \right) + \left(\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} \right) = 1$ centrada no ponto (A,B)

...

não! isso é incorreto matemáticamente (pelomenos se formos BEM rigorosos)

o certo seria ele dar a formula da elipse translatada que nesse caso a cima seria:

$\left(\frac{{(x-A)}^{2}}{{a}^{2}} \right) + \left(\frac{{(y-B)}^{2}}{{b}^{2}} \right) = 1 \;\;\;\;\;\; (1)$

isso sim seria a elipse centrada em (A,B)

e perceba que no caso da elipse que lhe foi dada voce tem essa equação no formato da equação (1) só que (A,B) que é o centro é, no seu caso (0,0)

entao sim, a elipse está na origem.

a mesma coisa pra circunferencia! uma circunferencia dada na seguinte formula:

${(x-A)}^{2} + {(y-B)}^{2} = {R}^{2}$

tem raio R, esta centrada em (A,B) no seu caso, esse (A,B) é a origem (0,0)

por **Fabricio dalla** » Seg Dez 05, 2011 17:35

ola TheoFerraz, eu fiz exatamente que vc tinha concluido em relaçao ao centro da elipse estar na origem do plano cartesiano,so que a dificuldade da questão e achar o ponto b,fiz a interseção da reta com a elipse e como tangencia acho que o delta = 0 so que da um calculo do caramba e não sei se estou indo certo.agradeço se alguem me dizer o que devo fazer.

por **TheoFerraz** » Qua Dez 07, 2011 17:23

Fabricio dalla escreveu:sabe-se que uma elipse de equaçao $\left(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} \right)+\left(\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} \right)=1$

tangencia internamente a circuferencia de equaçao ${x}^{2}+{y}^{2}=5$ e que a reta de equaçao 3x+2y=6 é tangente á elipse no ponto P.determine as coordenadas de P.

Só pra que eu tenha certeza... esse ponto P é também o pto que a circunferencia tangencia a elipse?

por **Fabricio dalla** » Qui Dez 08, 2011 12:42

Pois é TheoFerraz eu copiei exatamente como tava na apostila,eu n sei como se chegou a essa deduçao.eu desenhei aqui +ou- e tipo se o ponto P for intersceçao da reta da circu e da elipse,a reta vai deixar de tangenciar a elipse em um ponto e passa a interceptar em 2(so que a questão fala que só tangencia e tals)

por **TheoFerraz** » Sex Dez 09, 2011 16:01

é, de fato. minha ultima pergunta estava incoerente...

eu fui tentar resolver na lousa, com tempo e eu até consegui... mas foi quaaase que trapaceando...

Precisei desenhar a circunferencia e a reta para dai ter uma epifania quanto à posição da elipse.

Voce disse que ja desenhou... deve ter percebido que pra desenhar uma elipse que tangencia internamente uma circunferencia voce percebe que o eixo maior da elipse é o diametro da circunferencia. O problema é quanto à posição da elipse, no eixo Ox ou no Oy ?

Se voce desenhar a reta e a circunferencia, percebe que como a reta "corta" o eixo Ox "dentro" da circunferencia é impossivel colocar uma elipse lá dentro tangenciando a reta. Eu fiz essa obsercação baseada no seguinte desenho :

Uploaded with ImageShack.us

perceba que é impossivel colocar uma elipse com o eixo maior contido no Ox de forma a tangenciar a circunferencia internamente E a reta.

Mas no eixo Oy é possivel.

Utilizando essas observações sei que o eixo maior está no y e sei que $b = \sqrt{5}$ pois o eixo maior é na verdade o diametro da circunferencia.

minha elipse fica então da forma:

$\left(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} \right)+\left(\frac{{y}^{2}}{5} \right)=1$

mas ela ainda depende de "a". é preciso usar a informação de que a elipse tangencia a reta.

isolando o y na equação da reta, temos:

$y = \frac{6 - 3x}{2}$

correto?

Dizer que a elipse tangencia a reta, é também dizer que existe UM ponto, apenas UM, que resolve a equação da elipse e da reta ao mesmo tempo.
Caso existam 2 pontos a reta está cortando a elipse.

Então o que eu fiz foi substituir esse Y da reta na equação da elipse, e determinar "para qual 'a'" existe apenas um valor de x que resolve a equação...

OFF: Perceba que o exercicio foi ficando cada vez mais absurdo, mais dificil, e mais cabuloso. Eu tenho certeza que deve existir algum jeito mais simples...Aliás, utilizando calculo diferencial e integral esse exercicio se resolve bem facilmente, caso voce saiba calculo eu posso dizer o que faria.

a equação fica

$\left(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} \right)+\left(\frac{{ \left( \frac{6 - 3x}{2} \right) }^{2}}{5} \right)=1$

$\left(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} \right)+\left( \frac{{(6 - 3x)}^{2}}{20}} \right)=1$

$\left(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} \right)+\left( \frac{9{x}^{2} - 36 + 36}{20}} \right)=1$

$20{x}^{2} + {a}^{2}(9{x}^{2} - 36 + 36)} = 20{a}^{2}$

quando voce faz a distributiva e tudo mais, isso vai virar uma equação de segundo grau em X.

Voce quer que Delta de zero para que só exista uma raiz e não duas (hipotese da tangencia).

igualando o delta a zero voce deve descobrir o A que corresponde a tangencia.

com isso voce chega a descobrir o ponto P, ele vai ser a raiz dessa equação.

OFF: Esse exercicio ficou MUUUUUUUUUUITO mais complicado do que eu esperava... Desculpe se eu confundi mais ainda, ou se eu não ajudei em nada, mas ficou tão grande que era impossivel evitar contas assim...... Talvez o meu erro tenha sido pensar antes em descobrir a equação da elipse...
De qualquer forma desculpe se eu compliquei.
Espero que outra pessoa possa resolver também de maneira mais simples...

Espero ter sido de alguma ajuda. obrigado.

[Cônicas] duvida.

[Cônicas] duvida.

[Cônicas] duvida.

Re: [Cônicas] duvida.

Re: [Cônicas] duvida.

Re: [Cônicas] duvida.

Re: [Cônicas] duvida.

Re: [Cônicas] duvida.

Quem está online