Questão sobre cônicas

por **Cristiano Tavares** » Dom Set 04, 2011 12:41

Olá a todos,

Não estou conseguindo resolver uma questão sobre cônicas. Nessa questão são dados cinco pontos que pertencem à cônica: P(1,1), Q(2,1), R(3,-1), S(-3,2) e T(-2,-1). Pergunta-se então qual é a equação da cônica.

Sei que a forma geral da equação de uma cônica (parábola, elipse, hipérbole) é Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0. Sei também que os pontos dados acima devem ser substituídos nessa equação geral, encontrando-se então um sistema de cinco equações com as incógnitas A, B, C, D, E, e F. O problema é que não estou conseguindo resolver esse sistema, não estou entendendo o fato de serem seis variáveis e apenas cinco equações.

Alguém poderia me ajudar a resolver esse sistema de equações?

por **LuizAquino** » Dom Set 04, 2011 20:11

Como você mesmo escreveu, a equação geral da cônica é:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

Entretanto, tem um detalhe: por definição temos que A, B ou C deve ser diferente de zero.

Suponha que A é diferente de zero. Veja que você pode fazer:

$x^2 + \frac{B}{A}xy + \frac{C}{A}y^2 + \frac{D}{A}x + \frac{E}{A}y + \frac{F}{A} = 0$

Agora façamos $c_1 = \frac{B}{A}$ , $c_2 = \frac{C}{A}$ , $c_3 = \frac{D}{A}$ , $c_4 = \frac{E}{A}$ e $c_5 = \frac{F}{A}$ . A equação pode então ser escrita como:

x^2 + c_1xy + c_2y^2 + c_3x + c_4y + c_5 = 0

x^2 + c_1xy + c_2y^2 + c_3x + c_4y + c_5 = 0

Veja que dados os cinco pontos, você pode determinar as cinco constantes acima.

Por outro lado, veja que se A fosse zero, então B ou C não seria. Bastava então dividir toda a equação pela constante que não fosse nula. Novamente você poderia criar cinco novas constantes.

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