Área do triângulo

por **-civil-** » Qua Ago 10, 2011 22:41

Boulos - 3 ª ed. - Cap. 18

18-17) Considere as retas r: X= (1,1,0) + $\lambda$ (0,1,1) e s: (x-1)/2 = y = z. Sejam A o ponto de intersecção de s com o plano $\pi$ , e B e C, respectivamente, os pontos em que r intercepta Oxz e O xy. Calule a área do triângulo ABC (SO), nos casos:

(a) $\pi$ : x - y + z = 2

Fazendo a intersecção de s e $\pi$ , encontrei o ponto A = (2, $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2}$ )

Fazendo a intersecção entre r e Oxz
$\pi_1$ : X = (0,0,0) + $\gamma$ (1,0,0) + $\alpha$ (0,01)
1 = $\gamma$
1 + $\lambda$ = 0
$\lambda$ = $\alpha$
$\lambda$ = -1, $\alpha$ = -1, $\gamma$ = 1
B = (1, 0, -1)

$\pi_2$ : X = (0,0,0) + $\beta$ (1,0,0) + $\theta$ (0,1,0)
1 = $\beta$
1 + $\theta$ = 0
$\lambda$ = 0
C = (1,1,0)

Usando os três pontos para calcular o determinante, cheguei que o determinante é igual a 2 e a área será 1. Mas o resultado do livro é $\sqrt{\frac{3}{2}}$ . O que tem de errado na minha resolução.

por **LuizAquino** » Sex Ago 12, 2011 13:05

Note que:
$\vec{BA} = \left(1,\,\frac{1}{2},\,\frac{3}{2}\right)$

$\vec{BC} = \left(0,\,1,\,1\right)$

Desse modo, $\vec{BA}\times \vec{BC} = (-1, -1, 1)$ .

Para cacular a área de ABC basta tomar $\frac{1}{2}||\vec{BA}\times \vec{BC}||$ .