[Geometria Analítica] Encontrar a eq. vetorial da reta

por **-civil-** » Qua Ago 10, 2011 16:16

Boulos - 3ª ed. - Cap. 18

18-9) O segmento BE é a base de um triângulo isósceles de vértice A e é também a intersecção desse triângulo com o retângulo de vértices B, C, D, E. Os cinco pontos são coplanares. Conhecendo A = (1,1,0), B = (2,0,1) e C = (6,-2,3), obtenha as coordenadas de D e E (SO).

Como o triângulo ABE é isóceles, cada ângulo interno tem 60º.
Considerando E = ( $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ )

|| $\overrightarrow{BE}$ ||.|| $\overrightarrow{BA}$ ||. cos 60º = $\overrightarrow{BE}$ . $\overrightarrow{BA}$

3. $\frac{1}{2}$ = ( - 2, $x_{2}$ , $x_{3}$ - 1).(-1,1,-1)

1) $-x_{1}$ $+x_{2}$ $- x_{3}$ + $\frac{3}{2}$ = 0

dist(B,A) = $\sqrt{1 + 1 + 1}$ = $\sqrt{3}$ = dist (B,E)

dist(B,E) = $\sqrt{(x_{1} - 2)^2 + (x_{2})^2 + (x_{3} - 1)^2}$ = $\sqrt{3}$
2) ( $x_{1} - 2)^2$ + ( $x_{2})^2$ + ( $x_{3} - 1)^2$ = 3

Como consigo encontrar mais equações para achar essas incógnitas do ponto E?

por **LuizAquino** » Qui Ago 11, 2011 23:50

-civil- escreveu:Como o triângulo ABE é isóceles, cada ângulo interno tem 60º.

Já começa errado daqui! Um triângulo isósceles não necessariamente tem todos os ângulos internos iguais a 60°.

O que temos a priori sobre um triângulo isósceles é que os ângulos da base são congruentes. Além disso, os seus dois lados que não são a base também são congruentes.

A figura abaixo ilustra o exercício.

: triângulo_isósceles_e_retângulo.png (4.09 KiB) Exibido 2415 vezes

Já que ABE é isósceles e A, B, C e E são coplanares, para determinar o ponto E você pode usar três informações:

ele está no mesmo plano que contém A, B e C;
$||\vec{BA}|| = ||\vec{EA}||$ ;
Os ângulos $A\hat{B}E$ e $A\hat{E}B$ são congruentes.

Por outro lado, como BCDE é um retângulo, para determinar D basta usar o fato de que $D = E + \vec{BC}$ .

por **-civil-** » Qui Ago 18, 2011 00:11

Seguindo as suas dicas tenho que :
$\pi$ é o plano formado por A, B e C
$\overrightarrow{AB}$ = (1,-1,1) e $\overrightarrow{AC}$ = (5,-3,3)
$\pi$ : X = (1,1,0) + $\lambda$ (1,-1.1) + $\mu$ (5,-3,3)

E = ( x_1

,

,

)
|| $\overrightarrow{BA}$ || = || $\overrightarrow{BE}$ ||
$\sqrt{1 + 1 + 1}$ = $\sqrt{(x_1 - 2)^2 + (x_2)^2 + (x_3 - 1)^2}$
3 = (x_1)^2 - 4x_1 + 4 + (x_2)^2 + (x_3)^2 - 2(x_3) + 1

Usando que $A\hat{B}E$ e $A\hat{E}B$ :
|| $\overrightarrow{AB}$ ||.|| $\overrightarrow{BE}$ ||.cos $\theta$ = || $\overrightarrow{AE}$ ||.|| $\overrightarrow{BE}$ ||.cos $\theta$
|| $\overrightarrow{AB}$ || = || $\overrightarrow{AE}$ ||

Desculpe mas fiquei na mesma, ainda não sei como encontrar o ponto E

por **LuizAquino** » Qui Ago 18, 2011 10:15

-civil- escreveu:Seguindo as suas dicas tenho que :
$\pi$ é o plano formado por A, B e C
$\overrightarrow{AB}$ = (1,-1,1) e $\overrightarrow{AC}$ = (5,-3,3)
$\pi$ : X = (1,1,0) + $\lambda$ (1,-1.1) + $\mu$ (5,-3,3)

Ok. Mas, agora encontre a equação geral (cartesiana) do plano. Vamos chamar essa equação de (1).

-civil- escreveu:E = (,,)
|| $\overrightarrow{BA}$ || = || $\overrightarrow{BE}$ ||
$\sqrt{1 + 1 + 1}$ = $\sqrt{(x_1 - 2)^2 + (x_2)^2 + (x_3 - 1)^2}$
3 =

Isso está errado. Note que você deve fazer $||\vec{BA}|| = ||\vec{EA}||$ . Refaça as suas contas considerando essa informação. Vamos chamar essa equação de (2).

-civil- escreveu:Usando que $A\hat{B}E$ e $A\hat{E}B$ :
|| $\overrightarrow{AB}$ ||.|| $\overrightarrow{BE}$ ||.cos $\theta$ = || $\overrightarrow{AE}$ ||.|| $\overrightarrow{BE}$ ||.cos $\theta$
|| $\overrightarrow{AB}$ || = || $\overrightarrow{AE}$ ||

Isso também está errado.

Para o ângulo $A\hat{B}E$ temos que: $\cos A\hat{B}E = \frac{\vec{BA}\cdot \vec{BE}}{||\vec{BA}||||\vec{BE}||}$ .

Já para o ângulo $A\hat{E}B$ temos que: $\cos A\hat{E}B = \frac{\vec{EA}\cdot \vec{EB}}{||\vec{EA}||||\vec{EB}||}$ .

Como esses ângulos são iguais, temos que $\frac{\vec{BA}\cdot \vec{BE}}{||\vec{BA}||||\vec{BE}||} = \frac{\vec{EA}\cdot \vec{EB}}{||\vec{EA}||||\vec{EB}||}$ . Como $||\vec{BA}|| = ||\vec{EA}||$ e $||\vec{BE}|| = ||\vec{EB}||$ , no final ficamos com $\vec{BA}\cdot \vec{BE} = \vec{EA}\cdot \vec{EB}$ . Vamos chamar essa equação de (3).

Agora, com as equações (1), (2) e (3) você monta um sistema (não linear) com 3 equações e 3 incógnitas. Basta resolvê-lo e você determina o ponto E.

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