Volume do Tetraedro (SO)

por **-civil-** » Seg Ago 08, 2011 14:23

Boulos - Cap. 18 - Exercício 18-4

Calcule o volume do tetraedro (SO) determinado pelas retas r, s, t e pelo plano $\pi$ , nos casos:

(a) $\pi$ : x + y + z - 5 = 0
r: x = z = 0
s:x = y = 0
t: x - 2y = z = 0

Primeiramente passei as equações da reta para a forma vetorial. Ficou:

r: X = (0,0,0) + $\theta$ (0,1,0)

s: X = (0,0,0) + $\lambda$ (0,0,1)

t: X = (0,0,0) + $\upsilon$ (2,1,0)

Daí eu igualei cada uma com a equação do plano $\pi$

r: X = (0,0,0) + $\mu$ (0,1,0)
$\pi$ : 0 + $\mu$ + 0 - 5 = 0
$\mu$ = 5
A= (0,5,0)

s: X = (0,0,0) + $\lambda$ (0,0,1)
$\pi$ : 0 + 0 + $\lambda$ - 5 = 0
$\lambda$ = 5
B = (0,0,5)

t: X = (0,0,0) + $\gamma$ (2,1,0)
$\pi$ : 2 $\gamma$ + $\gamma$ + 0 - 5 = 0
3 $\gamma$ = 5
$\gamma$ = 5/3
C = (0,5/3,0)

Eu entendi que o ponto de intersecção de r, s e t é O = (0,0,0)

Então o volume do tetraedro seria:

$\frac{1}{6} [\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]$

Só que o resultado é zero! O que eu estou fazendo de errado?