Área do Triângulo

por **valeuleo** » Ter Abr 05, 2011 11:25

Seja A = (2,1,1), B = (1,0,-2) e C = (4,1,3). Determine a área do triângulo ABC. Verifique se (9,-2,7) é ortogonal a AB e a AC.

Eu sei que o produto vetorial é igual a área do paralelograma que é 2 vezes a área do triângulo. Porém não sei se tenho que fazer alguma manipulação algébica. Ajuda para um iniciante.

por **LuizAquino** » Ter Abr 05, 2011 11:42

Sabemos que a área T do triângulo de vértices A, B e C é dada por:
$T = \frac{1}{2}||\vec{AB}\times\vec{AC}||$

Sendo assim, primeiro você precisa calcular $\vec{AB} = B - A= (a,\, b,\, c)$ e $\vec{AC} = C - A = (d,\, e,\, f)$ .

Em seguida, calcule o produto vetorial através da determinante da matriz abaixo:

$\vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & b & c \\ d & e & f\end{vmatrix}$ $= (bf-ce)\vec{i} + (cd-af)\vec{j} + (ae-bd)\vec{k} = (bf-ce,\, cd-af,\, ae-bd)$

Por fim, calcule a área T:
$T = \frac{1}{2}\sqrt{(bf-ce)^2 + (cd-af)^2 + (ae-bd)^2}$

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