Ângulo entre duas retas

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Ângulo entre duas retas

Mensagempor Jonatan » Qui Jul 22, 2010 13:38

Em um plano, munido de um sistema cartesiano ortogonal de referência, são dados os pontos A(3;0), B(2,-1) e M(6,k). Determine o valor de k para o qual o ângulo BÂM = 45º.

Gabarito: k = 4 ou k = \frac{-9}{4}

Primeiramente desenhei um plano cartesiano e joguei os pontos A e B; observei que se eu uní-los posso formar uma reta. Entretanto, não sei o valor de k para marcar um ponto M e fazer com que outra reta intercepte a reta AB, e é exatamenteo o valor de k que o exercício pede.
Pensei que se soubesse as retas poderia ao menos descobrir suas equações. Enfim, não sei como faz o exercício. Alguém pode resolver para mim e me explicar?
Desde já, agradeço.
Jonatan
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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