[Bases Ortonormais] - Ajuda Exercício

por **Anna_lu** » Seg Mar 23, 2015 14:23

Olá! Eu estou com dúvida não na resolução do seguinte exercício, mas na interpretação dele. o enunciado é:

Se { $\vec a , \vec b , \vec c$ } é uma base ortonormal e $\vec u$ , um vetor qualquer, então $\vec u =( \vec a .\vec u) \vec a + ( \vec b . \vec u) \vec b + (\vec c . \vec u) \vec c.$ .

a resolução dele : O que sabemos é que $\vec u$ pode ser escrito de maneira única como uma combinação linear de $\vec u = x \vec a + y \vec b + z \vec c.$ . Calculando, então, o produto interno $\vec a . \vec u$ , obtemos $\vec a . \vec u= x( \vec a . \vec a) + y( \vec a. \vec b) + z(\vec a. \vec c) = x$ .

A minha dúvida é a seguinte, por que a expressão : $\vec u =( \vec a .\vec u) \vec a + ( \vec b . \vec u) \vec b + (\vec c . \vec u) \vec c.$ . multiplica por $\vec a$ ( após ao primeiro parênteses) , por $\vec b$ ( após o segundo parênteses) e por $\vec c$ ( após ao terceiro parênteses)?

Obrigada,

por **adauto martins** » Seg Mar 23, 2015 19:33

uma base {a,b,c} eh ortonormal,qdo os vetores sao unitarios e mutuamente pérpndiculares,ou seja:
$\left|a \right|=\left|b \right|=\left|c \right|=1$ e a.b=a.c=b.c=0

...
entao seja u um vetor no espaço gerado por {a,b,c}... $u=x.a+y.b+z.c...x,y,z \in \Re$ ...logo...
a.u=a.(x.a)+a.(y.b)+a.(z.b)=x.(a.a)+y(a.b)+z(a.c)=x...x=(a.u)