[Distancia] Geometria analitica

por **amigao** » Sáb Mai 11, 2013 12:01

Estou com duvida em um problema de Geometria analitica, tentei de tudo mas etou tendo problemas alguem pode me ajudar?

enunciado:
Ache os pontos de r: {?1: x + y = 2 e ?2 : x = y + z } que distam ?(14/3) de s: x = y = z + 1.

Minha tentativa. Primeiro achei r pela intersecção entre os planos que dão origem a r . mas não consigo seguir em frente para achar os pontos com essa distancia.

agradeço

por **e8group** » Sáb Mai 11, 2013 15:09

Após determinar a interseção entre os planos que designa a reta

.Considere $\vec{v_s} ,P_0 ,P_r \text{e} P_s$ ,respectivamente, vetor diretor da reta

,ponto arbitrário pertencente à reta

,um ponto particular da reta

que satisfaz $d(P_r,s) = \sqrt{14/3}$ (poderemos ter mais de um) e P_s

ponto da reta

mais próximo de P_r

tal que $\overrightarrow{P_rP_s} \perp \vec{v_s}$ .

Faça um desenho representando ambas retas .Note que,

a) $\overrightarrow{P_oP_s} \parallel \vec{v_s} \implies \exists \alpha \in \mathbb{R}$ tal que $\overrightarrow{P_oP_s} = \alpha \vec{v_s}$ .

b) $\overrightarrow{P_rP_s} \perp \vec{v_s} \iff \overrightarrow{P_rP_s} \cdot \vec{v_s} = 0$ .

c) O vetor $\overrightarrow{P_rP_o}$ é combinação linear de $\overrightarrow{P_rP_s} , \overrightarrow{P_sP_o} \implies \overrightarrow{P_0P_s} = - \overrightarrow{P_rP_s} + \overrightarrow{P_rP_o}$ .

Pelo item c) ,usando-se o item a) e multiplicando-se escalarmente ambos membos por $\vec{v_s}$ segue-se que :

$\alpha \vec{v_s} \cdot \vec{v_s} = (- \overrightarrow{P_rP_s} + \overrightarrow{P_rP_o})\cdot \vec{v_s} \iff \alpha ||\vec{v_s}||^2 = - \overrightarrow{P_rP_s} \cdot \vec{v_s} + \overrightarrow{P_rP_o} \cdot \vec{v_s}$ que devido ao item b) ,resulta : $\alpha = \frac{\overrightarrow{P_rP_o} \cdot \vec{v_s}}{||\vec{v_s}||^2}$ . Aplicando este resultado no item a) ,obtemos :

$\overrightarrow{P_oP_s} =\frac{\overrightarrow{P_rP_o} \cdot\vec{v_s}}{||\vec{v_s}||^2} \vec{v_s}$ .

Este último resultado implica $P_s = P_0 + \frac{\overrightarrow{P_rP_o} \cdot\vec{v_s}}{||\vec{v_s}||^2} \vec{v_s}$ .

O ponto P_o

é arbitrário ,podemos tomar por exemplo : $P_0 =(1,1,2) \in s$ .O vetor diretor da reta

pode ser encontrado parametrizando a mesma ,ou encontrando outro ponto $P_1 \in s$ para que $\vec{v_s} = \overrightarrow{P_0P_1}$ .

Em relação ao ponto P_r

terá que impor $P_r = (x,y,z) \in r$ e $d(P_r,P_s) = \sqrt{14/3}$ .

Acredito que estas informações sejam suficientes para prosseguir .

Tente concluir .

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