Geometria Analítica

por **flavio2010** » Dom Jun 13, 2010 09:07

Dado o segmento AB medindo 5cm, o conjunto dos pontos P tais que os comprimentos dos segmentos PA e PB são proporcionais a 2 e 3, respectivamente, é:
a) uma reta.
b) uma semí-reta.
c) um círculo de 5cm de raio.
d) um círculo de 10 cm de raio.
e) um círculo de 6 cm de raio.

por **Tom** » Dom Jul 04, 2010 01:52

Definindo um eixo de coordenadas retangulares com origem no ponto

, tal que o seguimento

esteja contido no eixo

e, portanto, B=(0,5)

, temos:

Seja (x,y)

a coordenada do ponto em questão, usando a equação da distância entre pontos, temos:

$\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{(x-5)^2+y^2}}=\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{(x)^2+(y)^2}{(x-5)^2+(y)^2}=\dfrac{4}{9}$

$9x^2+5y^2=4(x^2-10x+25)\rightarrow 5x^2+5y^2+40x=100\rightarrow x^2+8x+y^2=20$

$x^2+8x+16-16+y^2=20\rightarrow x^2+8x+16+y^2=36\rightarrow (x+4)^2+y^2=6^2$ , que é a equação de uma circunferência de centro em (-4;0)

Assim, é mesmo um círculo de raio

cm o lugar geométrico dos pontos supracitados.

- Letra E -

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