Derivada de vetores unitários

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Derivada de vetores unitários

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Derivada de vetores unitários

Mensagempor Jhenrique » Sex Jan 31, 2014 18:55

Como eu faço para derivar um vetor unitário? Aliás, como esse assunto se encaixa com os símbolos de christoffel, com derivadas parciais versus totais de vetores untitários... enfim, qual é o passo a passo para derivar um vetor unitário? Qual a fórmulas geral, qual a regra?
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Re: Derivada de vetores unitários

Mensagempor Russman » Sáb Fev 01, 2014 00:48

Vetor unitário, por definição, tem módulo igual a 1. Assim, basta você derivar apenas o direção e o sentido, já que a derivada do módulo é nula.
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Re: Derivada de vetores unitários

Mensagempor Jhenrique » Sáb Fev 01, 2014 01:04

na prática, como fica a equação?
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Re: Derivada de vetores unitários

Mensagempor Russman » Sáb Fev 01, 2014 02:26

Depende de como você expressará os vetores, logicamente. Comece com

\overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{v}}{\left \| \overrightarrow{v} \right \|}

especificando a base de \overrightarrow{v}.
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Re: Derivada de vetores unitários

Mensagempor Jhenrique » Sáb Fev 01, 2014 08:26

Han? Eu não entendi exatamente o que significa especificar a base...

Contudo, há uma outra questão muito relevante que até agora eu não entendi...
segundo o wolfram http://mathworld.wolfram.com/Cylindrica ... nates.html

A derivada do vetor unitário r com relação a váriavel teta é

dr/d? = ?

Mas pelo símbolos de christoffel que constam lá a derivada fica como:

dr/d? = 1/r ?

O que não pode ser verdade, uma dessas duas equações acima tem que estar errada, ou não, não sei. Como que eu uso os símbolos de christoffel corretamente?
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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