Equação do lugar geométrico

por **hygorvv** » Qua Jul 25, 2012 13:12

Olá galera, bom dia.

Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos que se apoiam nas retas r e s e interprete geometricamente, no caso em que:
r: X=(1,2,2)+ $\lambda$ (0,1,1) e s: X=(0,0,0)+ $\mu$ (1,0,1).

Resposta: 2x+2y-2z-1=0

Galera, interpretar geometricamente eu até consigo, não consigo é obter os pontos médios para tentar tirar alguma conclusão.

Agradeço desde já.

por **LuizAquino** » Qua Jul 25, 2012 21:26

hygorvv escreveu:Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos que se apoiam nas retas r e s e interprete geometricamente, no caso em que:
r: X=(1,2,2)+ $\lambda$ (0,1,1) e s: X=(0,0,0)+ $\mu$ (1,0,1).

Resposta: 2x+2y-2z-1=0

Galera, interpretar geometricamente eu até consigo, não consigo é obter os pontos médios para tentar tirar alguma conclusão.

Cada segmento "se apoia" nas retas r e s. Em outras palavras, cada segmento tem um dos extremo na reta r e o outro na reta s.

Sejam P e Q os extremos de um segmento qualquer, de tal modo que P está em r e Q está em s.

Como P está em r, existe um escalar a tal que P = (1, 2, 2) + a(0, 1, 1). Por outro lado, como Q está em s, existe um escalar b tal que Q = (0, 0, 0) + b(1, 0, 1).

Desse modo, o ponto médio entre P e Q será dado por:

$M = \frac{P+Q}{2} \implies M = \left(\frac{1}{2},\,1,\,1\right) + a\left(0,\,\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right) + b\left(\frac{1}{2},\,0,\,\frac{1}{2}\right)$

Agora tente continuar a partir daí.