QUESTÃO DE GEOMETRIA ANALÍTICA (DUVIDA!!!)

[hudeslan]

SABENDO QUE O PONTO P SOBRE A RETA 3X-2Y+3=0 É EQUIDISTANTE DA ORIGEM E DO PONTO A(4,2), DETERMINAR A DISTÂNCIA DE P À ORIGEM.
A)2 RAIZ QUADRADA DE 3
B)3 RAIZ QUADRADA DE 2
C)RAIZ QUADRADA DE 10
D)RAIZ QUADRADA DE 13

LI EM VÁRIOS LIVROS DE MATEMÁTICA A ÚNICA FORMULA SEMELHANTE A QUESTÃO FOI USADA SEM SUCESSO NÃO SEI SE REALMENTE É ESSA AX+BX+C/RAIZ QUADRADA DE A AO QUADRADO + B AO QUADRADO. ENCONTREI RAIZ QUADRADA DE 13 PORÉM NÃO É A RESPOSTA CORRETA.
FICO NO AGUARDO.

[Felipe Schucman]

Boa Tarde,


Utilizando a fórmula da ponto a ponto:

P(x,y)
D(Origem,P) = raiz[(x - 0)^2 + (Y - 0)^2]
D = raiz(x^2+y^2)

D(A,P) = raiz[(x- 4)^2 + ( Y - 2)^2]
D = raiz[x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4]= raiz[x^2 + y^2 - 8x - 4y + 20]

igualando as distancias, temos:

raiz[x^2 + y^2 - 8x - 4y + 20] = raiz(x^2+y^2) ---> elevamos tudo ao quadrado anulando as raizes...

x^2 + y^2 - 8x - 4y + 20 = x^2+y^2 ---> 8x + 4y -20 = 0

Essa reta contém os possiveis pontos equidistantes a origem e ao ponto A, sendo assim o cruzamento dela com a reta 3X-2Y+3=0, que também contém o ponto, resultará no ponto P:

3X-2Y+3=0 ---> x = (2y -3)3

8x + 4y -20 = 0, substituindo o X ----> 8(2y - 3)/3 + 4y - 20 = 0 ---> 16y/3 + 12y/3 = 28 ---> 28y/3 = 28 ---> y = 3

consequentemente x = 1(substituindo y em uma das retas):

P(1,3)

Então distancia da origem até o ponto P:

D(O,P) = raiz[(1 - 0)^2 + (3 - 0)^2] = raiz[1+9] = raiz[10].

Resposta C.

Se você achar mais facil é possivel a resolução geometricamente, mas esta ai a analítica.

Sobre seu erro, ocorre que essa formula que você citou é a distancia entre ponto e reta, mas na analitica é sempre a distancia mais curta que a formulá mostrará(fara como se você fizesse uma reta entre os dois pontos perpendicular a outra reta), e nada no exercicio diz que é a distancia mais curta dos pontos até a reta, então você não pode supor isso.

Espero ter ajudado!

P.S: Desculpe as fórmulas escritas, é que tenha dificuldade de usar o editor. Mas qualquer duvida que tiver é só perguntar.

Um abraço!