[Cônicas] problemas envolvendo rotação e translação

por **GuilhermeOliveira** » Dom Jun 24, 2012 22:54

Olá.
Estou com bastante dificuldades em resolver o seguinte problema:

Considere a cônica cuja equação é dada por
$8{x}^{2}-16xy+8{y}^{2}+\sqrt[]{2}x+\sqrt[]{2}y=0$
(a) Encontre mudanças apropriadas de coordenadas (rotação e/ou translação),
de modo que a equação resultante fique na forma canônica (padrão).
(b) Identifique a curva.

Minhas dificuldades:
[*]basicamente desenvolvimento do processo (preferencialmente de forma objetiva)
[*]saber quando a figura formada pode ser rotacionada e quando ela pode ser transladada
[*]como colocar equação resultante em uma base ( no caso na forma canônica)
[*]quais os fatores que determinam em qual sentido estarão os vetores encontrados que formarão o novo sistema de cordenadas (novo sistema devido a rotação)
[*]como definir quais são os vetores que representarão qual eixo (x e y) no novo sistema de cordenadas encontrados

Meu professor de gaal não é dos melhores, ele tá bem velhinho e, infelizmente, não está mais em condições de me ensinar da forma como eu gostaria. Em breve vou fazer uma prova dessa matéria e não sei muita coisa ainda, então, tenho que estudar basicamente sozinho.
Muito obrigado pela ajuda.

por **LuizAquino** » Seg Jun 25, 2012 17:17

GuilhermeOliveira escreveu:Olá.
Estou com bastante dificuldades em resolver o seguinte problema:

Considere a cônica cuja equação é dada por
$8{x}^{2}-16xy+8{y}^{2}+\sqrt[]{2}x+\sqrt[]{2}y=0$
(a) Encontre mudanças apropriadas de coordenadas (rotação e/ou translação),
de modo que a equação resultante fique na forma canônica (padrão).
(b) Identifique a curva.

Minhas dificuldades:
[*]basicamente desenvolvimento do processo (preferencialmente de forma objetiva)
[*]saber quando a figura formada pode ser rotacionada e quando ela pode ser transladada
[*]como colocar equação resultante em uma base ( no caso na forma canônica)
[*]quais os fatores que determinam em qual sentido estarão os vetores encontrados que formarão o novo sistema de cordenadas (novo sistema devido a rotação)
[*]como definir quais são os vetores que representarão qual eixo (x e y) no novo sistema de cordenadas encontrados

Pelo que analiso em suas dificuldades, ao que parece você não sabe nem iniciar o exercício.

Nesse contexto, eu recomendo que primeiro você procure ler sobre esse assunto. Por exemplo, vide o seguinte livro:

Boulos, Paulo; Camargo, Ivan. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3a ed., São Paulo, Pearson Education, 2005.

Nesse livro há vários exercícios resolvidos exibindo o passo a passo de como efetuar a translação e a rotação nas cônicas.

Depois que você fizer essa leitura, se você permanecer com dúvidas em alguma parte, então poste aqui até onde você conseguiu avançar.