Geometria Analítica : condição de alinhamento de pontos.

por **Larice Mourao** » Qui Mai 17, 2012 15:44

(Fuvest)No plano cartesiano, considere o quadrado de vértices A= (0,0) , B = (a,0), C (0,a) e D (a,a), onde a>0. sabendo-se que os triângulos ABE, com E no interior do quadrado, e BDF, com F no exterior do quadrado, são triângulos equiláteros, prove que os pontos C, E e F estão alinhados.

eu sei que para que não exista triangulo o determinante é igual a zero e assim os pontos estão alinhados . Mas como poder haver triangulo (determinante diferente de zero , eu suponho) se os pontos estão alinhados (determinante igual a zero) ?? com essa dúvida nao consigo nem montar o determinante ... Bem , eu não consegui , se alguém puder me orientar fico muito grata ...

por **LuizAquino** » Sáb Mai 19, 2012 16:06

Larice Mourao escreveu:(Fuvest)No plano cartesiano, considere o quadrado de vértices A= (0,0) , B = (a,0), C (0,a) e D (a,a), onde a>0. sabendo-se que os triângulos ABE, com E no interior do quadrado, e BDF, com F no exterior do quadrado, são triângulos equiláteros, prove que os pontos C, E e F estão alinhados.

Larice Mourao escreveu:eu sei que para que não exista triangulo o determinante é igual a zero e assim os pontos estão alinhados . Mas como poder haver triangulo (determinante diferente de zero , eu suponho) se os pontos estão alinhados (determinante igual a zero) ?? com essa dúvida nao consigo nem montar o determinante ... Bem , eu não consegui , se alguém puder me orientar fico muito grata ...

Você está confundindo os conceitos. Note que o exercício pede que seja provado que C, E e F estão alinhados. Em outras palavras, CEF não forma um triângulo. Entretanto, não há problema algum em ABE e BDF serem triângulos.

A figura abaixo ilustra o exercício.

: figura.png (5.4 KiB) Exibido 4585 vezes

Analisando essa figura, como ABE e BDF são triângulos equiláteros, note que:

$E = \left(\frac{a}{2},\,\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$

$F = \left(a + \frac{a\sqrt{3}}{2},\,\frac{a}{2}\right)$

Agora tente concluir o exercício.

por **Larice Mourao** » Dom Mai 20, 2012 04:08

Luis Aquino , sério , chorei de emoção aqui , muitíssimo obrigada ..
Mas nem sei se acertei , o meu livro não tem a resposta .
O resultado que eu encontrei foi 3a²=0 , acho que errei em alguma parte , eu fiz o determinante com o valor do ponto C abaixo o do E e abaixo com o do F mais uma coluna com 1 , aplicando a regra de Sarrus .. e igualando a zero . :(
mas , mais uma vez , Muito obrigada !!

por **Larice Mourao** » Dom Mai 20, 2012 04:26

Desculpe-me eu refiz o cálculo e deu certo , realmente o resultado é zero , kkkk, que burra eu . Ficam 5a²-5a²+2a²raiz²(aindanão aprendi em latex)de 3 - 2a² raiz ² de 3. Você esclareceu mesmo , Valeeeeeeu!!

por **LuizAquino** » Dom Mai 20, 2012 20:49

Larice Mourao escreveu:Luiz Aquino , sério , chorei de emoção aqui , muitíssimo obrigada ..
Mas nem sei se acertei , o meu livro não tem a resposta .
O resultado que eu encontrei foi 3a²=0 , acho que errei em alguma parte , eu fiz o determinante com o valor do ponto C abaixo o do E e abaixo com o do F mais uma coluna com 1 , aplicando a regra de Sarrus .. e igualando a zero . :(
mas , mais uma vez , Muito obrigada !!

Larice Mourao escreveu:Desculpe-me eu refiz o cálculo e deu certo , realmente o resultado é zero , kkkk, que burra eu . Ficam 5a²-5a²+2a²raiz²(aindanão aprendi em latex)de 3 - 2a² raiz ² de 3. Você esclareceu mesmo , Valeeeeeeu!!

O que aparece no resultado do determinante não é essa expressão. Ainda falta o número 4, que aparece dividindo.

Note que você deseja calcular o determinante:

$\begin{vmatrix} 0 & a & 1 \\ \frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & 1 \\ a + \frac{a\sqrt{3}}{2} & \frac{a}{2} & 1 \end{vmatrix}$

Veja que eu não igualei esse determinante a zero ainda. Na verdade, primeiro eu tenho que calcular esse determinante. Só no final das contas, se esse determinante for igual a zero, é que poderemos dizer que os pontos estão alinhados.

Aplicando a Regra de Sarrus, temos que:

$\begin{array}{|ccc|cc} 0 & a & 1 & 0 & a \\ \frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & 1 & \frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} \\ a + \frac{a\sqrt{3}}{2} & \frac{a}{2} & 1 & a + \frac{a\sqrt{3}}{2} & \frac{a}{2} \end{array} =$

$= \left[0\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot 1 + a\cdot 1 \cdot \left(a + \frac{a\sqrt{3}}{2}\right) + 1\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}\right] - \left[1\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \left(a + \frac{a\sqrt{3}}{2}\right) + 0 \cdot 1 \cdot \frac{a}{2} + a\cdot \frac{a}{2}\cdot 1\right]$

$= \left(a^2 + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + \frac{a^2}{4}\right) - \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2} + \frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{2}\right)$

$= \frac{4a^2 + 2a^2\sqrt{3} + a^2}{4} - \frac{2a^2\sqrt{3} + 3a^2 + 2a^2}{4}$

$= \frac{2a^2\sqrt{3} + 5a^2}{4} - \frac{2a^2\sqrt{3} + 5a^2}{4} = 0$

Agora sim podemos dizer que:

$\begin{array}{|ccc|} 0 & a & 1 \\ \frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & 1 \\ a + \frac{a\sqrt{3}}{2} & \frac{a}{2} & 1 \end{array} = 0$

Sendo assim, os pontos estão alinhados.

por **Larice Mourao** » Ter Mai 22, 2012 23:49

aaa verdade . Eu conferi aqui , percebi que não havia multiplicado o denominador do 3a² , tinha deixado apenas o 2 no denominador , aí qnd fiz o mmc o numerador ficou multiplicado por 2.. realmente se fosse prova aberta tinha errado :ss Obrigada por conferir a resposta !!! viajeeei desde o começo da questão ... rsrs