[Hipérbole]

por **Ana_Rodrigues** » Qua Nov 23, 2011 19:33

Encontrar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas

centro C(2,-3), eixo real paralelo a Oy e passando por (3,-1) e (-1,0)

Eu tentei resolver esta questão mas não estou conseguindo chegar ao resultado
Eu usei o seguinte método
$\frac{{(y+3)}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{(x-2)}^{2}}{{b}^{2}}= 1$

depois eu substituí os pontos nos x e y da fórmula, mas não ta dando certo. Alguém pode me dizer qual o erro e mostrar uma forma de como resolver essa questão?

Agradeço desde já, à quem me ajudar a entender!

por **MarceloFantini** » Qua Nov 23, 2011 19:46

Mostre as suas contas, talvez possamos encontrar o erro.

por **Ana_Rodrigues** » Qua Nov 23, 2011 20:17

$\frac{{(y+3)}^{2}}{{a}^{2}}- \frac{{(x-2)}^{2}}{{b}^{2}}$

$\frac{4}{{a}^{2}} - \frac{1}{{b}^{2}}=1$

$4{b}^{2} - {a}^{2}={a}^{2}{b}^{2}$

$\frac{9}{{a}^{2}} - \frac{9}{{b}^{2}}=1$
$9{b}^{2} - 9{a}^{2}= {a}^{2}{b}^{2}$

A partir daí eu não sei mais como faz.

Pra mim não tem lógica essas fórmulas, a segunda contradiz a primeira.

Obs: Eu substituí os pontos dados na questão (3, -1) e (-1,0) nessa ordem.

por **MarceloFantini** » Qua Nov 23, 2011 20:54

Temos então de 4b^2 -a^2 =a^2b^2

e

que $4b^2 -a^2 = 9b^2 -9a^2 \implies 5b^2 = 8a^2$ e daí $b^2 = \frac{8a^2}{5}$ , logo $4b^2 - a^2 = a^2 b^2 \implies \frac{32a^2}{5} -a^2 = \frac{8a^4}{5} \implies 32a^2 -5a^2 =8a^4$ e portanto $8a^4 = 27a^2 \implies 8a^2 = 27$ e finalmente $a^2 = \frac{27}{8}$ , concluindo que $b^2 = \frac{8a^2}{5} = \frac{27}{5}$ .

Por fim, a equação da hipérbole será $\frac{(y+3)^2}{a^2} - \frac{(x-2)^2}{b^2} =1 \implies \frac{8(y+3)^2}{27} - \frac{5(x-2)^2}{27} = 1$ .

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