[Elipse, hipérbole, parábola] Dificuldade em exercícios!

por **geo_nascimento** » Dom Out 23, 2011 15:47

Boa tarde,
não consigo realizar umas questões de elipse e hipérbole ela tem cara de fácil mas pra mim é uma pedra no sapato:

Determinar a equação da elipse de centro C(0,0), focos no eixo de x, excentricidade e=2/3 e passa pelo ponto P(2,-5/3). Não sei por onde começar...

E tem essa também que tá dando uma dor de cabeça : Determine o centro, focos, semi-eixos, assíntota e reta diretriz (se houver) da equação 9x²-58y²+18y+29=0.

por favor me ajudem, tenho um teste sobre isso, obrigado!

por **LuizAquino** » Seg Out 24, 2011 16:33

geo_nascimento escreveu:não consigo realizar umas questões de elipse e hipérbole ela tem cara de fácil mas pra mim é uma pedra no sapato:

De fato, as duas questões são fáceis como você verá a seguir. É só trabalhar com as definições e características das cônicas.

Determinar a equação da elipse de centro C(0,0), focos no eixo de x, excentricidade e=2/3 e passa pelo ponto P(2,-5/3).

A equação dessa elipse tem o formato:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ , sendo a e b números positivos e não nulos.

Por definição, sabemos que sua excentricidade é dada pela relação:

$e = \frac{c}{a}$ , sendo que $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ e a > b .

Sendo assim, dos dados do exercício temos a equação:

$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} = \frac{2}{3}$

O outro dado do exercício diz que a elipse passa pelo ponto (2, -5/3). Isso significa que esse ponto deve atender a equação da elipse. Isto é, podemos escrever que:

$\frac{2^2}{a^2} + \frac{\left(-\frac{5}{3}\right)^2}{b^2} = 1$

Considerando então as duas equações que foram obtidas, para resolver o exercício basta calcular a solução do sistema:

$\begin{cases} \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} = \frac{2}{3} \\ \\ \frac{2^2}{a^2} + \frac{\left(-\frac{5}{3}\right)^2}{b^2} = 1 \end{cases}$

Agora tente terminar a resolução.

Determine o centro, focos, semi-eixos, assíntota e reta diretriz (se houver) da equação 9x²-58y²+18y+29=0.

Será necessário arrumar a equação para que ele fique no formato reduzido. Para isso, nesse caso deve-se completar quadrados em relação a variável y.

9x^2-58y^2+18y+29=0

$9x^2 - 58\left(y^2 - \frac{9}{29}y\right) + 29=0$

$9x^2 - 58\left[\left(y - \frac{9}{58}\right)^2 - \left(\frac{9}{58}\right)^2\right] + 29=0$

$9x^2 - 58\left(y - \frac{9}{58}\right)^2 + \frac{81}{58} + 29=0$

$9x^2 - 58\left(y - \frac{9}{58}\right)^2 = -\frac{1763}{58}$

Dividindo toda essa equação por $-\frac{1763}{58}$ :

$-\frac{522x^2}{1763} + \frac{3364\left(y - \frac{9}{58}\right)^2}{1763} = 1$

Note que essa equação representa uma hipérbole.

Agora tente identificar as características solicitadas.