[Geometria Analítica] Encontrar a reta t

por **-civil-** » Ter Ago 09, 2011 21:49

Boulos - 3ª ed. - Cap. 18
18-5) Obtenha, em cada caso, uma equação vetorial da reta que contém P, é paralela ou contida no plano $\pi$ e é concorrente com a reta r.

b) P = (1,0,1); $\pi$ : x - 3y - z = 1; r: X = (0,0,0) + $\lambda$ (2,1,-1)

Verifiquei que P não pertece a $\pi$ e que r é paralelo a $\pi$ . E agora, como encontrar o plano formado entre P e r?

d) P = (2,-1,2); $\pi$ : x + y +z = 0; r é a intersecção dos planos $\pi$ 1: x=z e $\pi$ 2: z = y + 2

Verifiquei que P não pertence a $\pi$ e também não pertence a r. Mas como prosseguir?

por **LuizAquino** » Qui Ago 11, 2011 23:31

-civil- escreveu:Boulos - 3ª ed. - Cap. 18

18-5) Obtenha, em cada caso, uma equação vetorial da reta que contém P, é paralela ou contida no plano $\pi$ e é concorrente com a reta r.

b) P = (1,0,1); $\pi$ : x - 3y - z = 1; r: X = (0,0,0) + $\lambda$ (2,1,-1)

Verifiquei que P não pertece a $\pi$ e que r é paralelo a $\pi$ . E agora, como encontrar o plano formado entre P e r?

No próprio livro citado, há a seguinte proposição:

r e s são concorrentes se e somente se são coplanares e não são paralelas. Ou seja, se e somente se:

$\begin{vmatrix} a & b & c \\ m & n & p \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \end{vmatrix} = 0$ ,

e $\{\vec{r},\,\vec{s}\}$ é L. I., sendo que $\vec{r} = (a,\, b,\, c)$ vetor diretor de r, $\vec{s} = (m,\, n,\, p)$ vetor diretor de s, $A = (x_1,\, y_1,\, z_1)$ um ponto de r e $B = (x_2,\, y_2,\, z_2)$ um ponto de s.

Note que pelos dados do exercício você pode obter o vetor $\vec{r}$ , um ponto A de r e um ponto B de s. Fica faltando $\vec{s} = (m,\, n,\, p)$ .

Além disso, perceba que como r e s são concorrentes e paralelas ao plano $\pi$ , podemos tomar $\vec{s}$ de tal modo que $\vec{r}\times \vec{s} = \vec{n}$ , sendo $\vec{n}$ o vetor normal de $\pi$ .

Unindo essa última informação com o determinante acima, você monta um sistema linear com três incógnitas (m, n e p) e duas equações. A partir disso você obtém $\vec{s}$ .

-civil- escreveu:d) P = (2,-1,2); $\pi$ : x + y +z = 0; r é a intersecção dos planos $\pi_1$ : x=z e $\pi_2$ : z = y + 2
Verifiquei que P não pertence a $\pi$ e também não pertence a r. Mas como prosseguir?

Note que r é perpendicular ao plano $\pi$ . Para s ser paralela a $\pi$ e concorrente a r, deve existir um ponto Q de r tal que $d(Q,\pi) = d(P,\pi)$ e $\vec{PQ}\perp\vec{r}$ . Após determinar esse ponto Q, basta tomar o vetor diretor de s como sendo $\vec{s} = \vec{PQ}$ .

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