[Geometria Analítica] Encontrar a reta t

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Boulos - 3ª ed. - Cap. 18
18-5) Obtenha, em cada caso, uma equação vetorial da reta que contém P, é paralela ou contida no plano e é concorrente com a reta r.

b) P = (1,0,1); : x - 3y - z = 1; r: X = (0,0,0) + (2,1,-1)


Verifiquei que P não pertece a e que r é paralelo a . E agora, como encontrar o plano formado entre P e r?


d) P = (2,-1,2); : x + y +z = 0; r é a intersecção dos planos 1: x=z e 2: z = y + 2

Verifiquei que P não pertence a e também não pertence a r. Mas como prosseguir?

[LuizAquino]

Boulos - 3ª ed. - Cap. 18

18-5) Obtenha, em cada caso, uma equação vetorial da reta que contém P, é paralela ou contida no plano e é concorrente com a reta r.

b) P = (1,0,1); : x - 3y - z = 1; r: X = (0,0,0) + (2,1,-1)


Verifiquei que P não pertece a e que r é paralelo a . E agora, como encontrar o plano formado entre P e r?

No próprio livro citado, há a seguinte proposição:

r e s são concorrentes se e somente se são coplanares e não são paralelas. Ou seja, se e somente se:

,

e é L. I., sendo que vetor diretor de r, vetor diretor de s, um ponto de r e um ponto de s.

Note que pelos dados do exercício você pode obter o vetor , um ponto A de r e um ponto B de s. Fica faltando .

Além disso, perceba que como r e s são concorrentes e paralelas ao plano , podemos tomar de tal modo que , sendo o vetor normal de .

Unindo essa última informação com o determinante acima, você monta um sistema linear com três incógnitas (m, n e p) e duas equações. A partir disso você obtém .

d) P = (2,-1,2); : x + y +z = 0; r é a intersecção dos planos : x=z e : z = y + 2
Verifiquei que P não pertence a e também não pertence a r. Mas como prosseguir?

Note que r é perpendicular ao plano . Para s ser paralela a e concorrente a r, deve existir um ponto Q de r tal que e . Após determinar esse ponto Q, basta tomar o vetor diretor de s como sendo .