• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

[Geometria Analítica] Encontrar a reta t

[Geometria Analítica] Encontrar a reta t

Mensagempor -civil- » Ter Ago 09, 2011 21:49

Boulos - 3ª ed. - Cap. 18
18-5) Obtenha, em cada caso, uma equação vetorial da reta que contém P, é paralela ou contida no plano \pi e é concorrente com a reta r.

b) P = (1,0,1); \pi: x - 3y - z = 1; r: X = (0,0,0) + \lambda(2,1,-1)


Verifiquei que P não pertece a \pi e que r é paralelo a \pi. E agora, como encontrar o plano formado entre P e r?


d) P = (2,-1,2); \pi: x + y +z = 0; r é a intersecção dos planos \pi1: x=z e \pi2: z = y + 2

Verifiquei que P não pertence a \pi e também não pertence a r. Mas como prosseguir?
-civil-
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 47
Registrado em: Sex Abr 22, 2011 12:31
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Civil
Andamento: cursando

Re: [Geometria Analítica] Encontrar a reta t

Mensagempor LuizAquino » Qui Ago 11, 2011 23:31

-civil- escreveu:Boulos - 3ª ed. - Cap. 18

18-5) Obtenha, em cada caso, uma equação vetorial da reta que contém P, é paralela ou contida no plano \pi e é concorrente com a reta r.

b) P = (1,0,1); \pi: x - 3y - z = 1; r: X = (0,0,0) + \lambda(2,1,-1)


Verifiquei que P não pertece a \pi e que r é paralelo a \pi. E agora, como encontrar o plano formado entre P e r?


No próprio livro citado, há a seguinte proposição:

r e s são concorrentes se e somente se são coplanares e não são paralelas. Ou seja, se e somente se:

\begin{vmatrix}
a & b & c \\
m & n & p \\
x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1
\end{vmatrix} = 0 ,

e \{\vec{r},\,\vec{s}\} é L. I., sendo que \vec{r} = (a,\, b,\, c) vetor diretor de r, \vec{s} = (m,\, n,\, p) vetor diretor de s, A = (x_1,\, y_1,\, z_1) um ponto de r e B = (x_2,\, y_2,\, z_2) um ponto de s.

Note que pelos dados do exercício você pode obter o vetor \vec{r}, um ponto A de r e um ponto B de s. Fica faltando \vec{s} = (m,\, n,\, p) .

Além disso, perceba que como r e s são concorrentes e paralelas ao plano \pi, podemos tomar \vec{s} de tal modo que \vec{r}\times \vec{s} = \vec{n}, sendo \vec{n} o vetor normal de \pi.

Unindo essa última informação com o determinante acima, você monta um sistema linear com três incógnitas (m, n e p) e duas equações. A partir disso você obtém \vec{s} .

-civil- escreveu:d) P = (2,-1,2); \pi: x + y +z = 0; r é a intersecção dos planos \pi_1: x=z e \pi_2: z = y + 2
Verifiquei que P não pertence a \pi e também não pertence a r. Mas como prosseguir?


Note que r é perpendicular ao plano \pi. Para s ser paralela a \pi e concorrente a r, deve existir um ponto Q de r tal que d(Q,\pi) = d(P,\pi) e \vec{PQ}\perp\vec{r}. Após determinar esse ponto Q, basta tomar o vetor diretor de s como sendo \vec{s} = \vec{PQ} .
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado


Voltar para Geometria Analítica

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 1 visitante

 



Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?