Gostaria de saber, como surgiu esta formula.

por **bencz** » Qui Jul 14, 2011 00:27

Olá, gostaria de saber como surgiu a formula para calcular a area total de um triangulo

Formula: ${A}_{t} = \frac{|D|}{2}$

Obrigado.

por **Molina** » Dom Jul 17, 2011 15:10

Boa tarde.

Seja o triângulo A_1A_2A_3

, onde os vértices A_1=(a_1,b_1)

,

e

são pontos quaisquer. A partir da origem O traçamos os segmentos OP e OQ, respectivamente equipotentes a A_3A_1

e

, logo $P=(\alpha_1,\beta_1)$ e $Q=(\alpha_2,\beta_2)$ , com $\alpha_1=a_1-a_3$ , $\beta_1=b_1-b_3$ , $\alpha_2=a_2-a_3$ , $\beta_2=b_2-b_3$ .

Então, $A_t=area~de~A_1A_2A_3=area~de~OPQ=\frac{1}{2}|\alpha_1\beta_2-\alpha2\beta_1|$

Ou seja, $A_t = \frac{1}{2}|(a_1-a_3)(b_2-b_3)-(a_2-a_3)(b_1-b_3)|$

Mas,

(a_1-a_3)(b_2-b_3)-(a_2-a_3)(b_1-b_3)=a_1b_2-a_1b_3-a_3b_2+a_3b_3-a_2b_1+a_2b_3+a_3b_1-a_3b_3 = a_1b_2-a_1b_3-a_3b_2-a_2b_1+a_2b_3+a_3b_1

E

$D= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & 1 \\ a_2 & b_2 & 1 \\ a_3 & b_3 & 1 \end{vmatrix} = a_1b_2 + b_1a_3 + a_2b_3 - b_2a_3 - b_1a_2 - a_1b_3$

O que implica que temos que:

$A_t = \frac{1}{2}|D|$

:y:

Gostaria de saber, como surgiu esta formula.

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Re: Gostaria de saber, como surgiu esta formula.

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