medida angular entre planos

por **-civil-** » Sáb Jun 18, 2011 13:14

Existem dois planos $\pi$ 1 e $\pi$ 2 tais que cada um contém a reta t : X = (-1; 4; 0) + $\lambda$ (1; 2; 3) e forma ângulos congruentes
com a reta r : X = (0; 0; 0) + $\lambda$ (1; 1; 1) e s : X = (-1; 2; 3) + $\lambda$ (1; 1;-1). Calcule a medida angular entre $\pi$ 1 e $\pi$ 2.

A única conclusão que eu consegui chegar foi que para $\pi$ 1 e $\pi$ 2 conterem a reta t, eles devem ser planos concorrentes. Não consigo mais desenvolver o exercício.

Agradeço pela ajuda

por **LuizAquino** » Sáb Jun 18, 2011 22:56

Se $\vec{n}$ é a normal de qualquer um dos dois planos, então:
(i) $\vec{n} \cdot (1;\, 2;\, 3) = 0$ .

Sabemos que o seno do ângulo formado entre o plano de normal $\vec{n}$ e a reta de vetor diretor $\vec{u}$ é dado por $\textrm{sen}\,\theta = \frac{|\vec{n}\cdot \vec{u}|}{||\vec{n}||\,||\vec{u}||}$ .

Das informações do execício, obtemos $|\vec{n}\cdot (1;\,1;\,1)| = |\vec{n}\cdot (1;\,1;\,-1)|$ . Isso dá origem a duas equações:
(ii) $\vec{n}\cdot (1;\,1;\,1) = \vec{n}\cdot (1;\,1;\,-1)$ ;
(iii) $\vec{n}\cdot (1;\,1;\,1) = -\vec{n}\cdot (1;\,1;\,-1)$ .

De (i) e (ii) obteremos a normal de um dos planos. De (i) e (iii) obteremos a normal do outro.

Por fim, se $\vec{n_1}$ e $\vec{n_2}$ são os vetores normais, respectivamente, a $\pi_1$ e $\pi_2$ , então $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}||\,||\vec{n_2}||}$ (sendo $\theta$ o ângulo entre os planos).

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