Obter área do triângulo

por **-civil-** » Qui Jun 16, 2011 01:32

Dados
r : x + 2y + 2z - 3 = 0
x + z - 3 = 0 ,
P = (2, 1, 4) e s : $x - 3 = y + 1 =\frac{z + 6}{2}$ , seja Q a projeção ortogonal de P sobre r. Supondo que o sistema adotado é ortogonal, obtenha o ponto A de s tal que a área de triângulo PQA seja 9.

Eu passei a reta r para a forma vetorial e ficou desse jeito
r: X= $(0, \frac{-3}{2}, 3) + \lambda(1, \frac{1}{2},-1)$

Fiz a mesma coisa com a reta s
s: X= $(3,-1,-6) + \lambda(1,1,2)$

Para encontrar o ponto Q, eu pensei em usar a fórmula de projeção (Boulos, pg 67). Só que eu só posso utilizar vetores nessa fórmula. Daí eu usei o ponto da reta r, B= $(0,\frac{-3}{2},3)$

Eu tenho que $\overrightarrow{BP}=(2,\frac{5}{2},1)$ e $\overrightarrow{BQ}=(x,y+\frac{3}{2},z-3)$

Então
$\overrightarrow{BQ} = \frac{ (\overrightarrow{BP}.\overrightarrow{v})}{\|\overrightarrow{v}\|^2}.\overrightarrow{v}$

fazendo as contas, achei que $\overrightarrow{BQ} = (\frac{3}{2},\frac{3}{4},\frac{-3}{2})$

Como $\overrightarrow{BQ} = (x,y + \frac{3}{2}, z - 3) = (\frac{3}{2},\frac{3}{4},\frac{-3}{2})$

encontrei $Q = (\frac{3}{2},\frac{-3}{4},\frac{3}{2})$

A partir daí como eu faço para encontrar o ponto A?

Agradeço pela ajuda

por **LuizAquino** » Qui Jun 16, 2011 17:01

Refaça as suas contas, pois $\vec{BQ}$ está errado (e portanto Q também).

Para achar o ponto A, lembre-se que $\frac{1}{2}||\vec{PA}\times\vec{PQ}|| = 9$ .

Uma vez que você conhece P e Q, a equação acima só tem A de desconhecido.

Aqui vai uma dica: como A pertence a s, então ele tem o formato (3 + k, -1 + k, -6 + 2k), para alguma constante k. Isso significa que a equação acima apenas terá k de incógnita.

por **-civil-** » Sáb Jun 18, 2011 16:23

Realmente, eu tinha calculado $\overrightarrow{BQ}$ errado. Refazendo as contas, achei que $\overrightarrow{BQ}$ = $\overrightarrow{v}$ . Daí, Q=(1, -1,2). Depois calculando $\frac{1}{2}||\overrightarrow{PA} \times \overrightarrow{BQ}||$ , cheguei que A pode ser (5,1,-2) ou $(\frac{61}{5},\frac{41}{5},\frac{62}{5})$

Agradeço pela ajuda!

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