exercicio resolvido

[adauto martins]

(ITA-1965)p(x) é um polinomio de 5° grau e 1,3 e 5 sao raizes da equaçao p(x)=0.se Q(x)=x^2-4x+3 entao
a fraçao p(x)/Q(x) é

a)um polinomio
b)um polinomio de 2°grau
c)negativa para raizes para valores de x compreendidos entre as raizes de Q(x)=0

[adauto martins]

soluçao
pelos dados do problema teremos

p(x)=(x-1).(x-3).(x-5)r(x),onde r(x) é um polinomio de 2° grau
Q(x)=x^2-4x+3=0...teremos x=1,x=3 raizes de Q(x)=0...logo

p(x)/Q(x)=((x-1)(x-3)(x-5)r(x))/((x-1)(x-3))=(x-5).r(x) que é um polinomio de 3°...

logo a opçao b) esta descartada...

entre x=1 e x=3,teremos

p(x)/Q(x)=(1-5).r(x)=-4.r(x),r(x) de 2°...r(x)=ax^2+bx+c...para x=1,teremos

p(1)/Q(1)=-4.(a.(1)^2+b.(1)+c)=-4(a+b+c)...
fazendo o mesmo para x=3...p(3)/Q(3)=(3-5)r(x)=-2(9a+3b+c)...como nao temos como determinar a,b,c em funçao dos dados do problema,nao temos como afirmar a opçao c)...
portanto o que podemos afirmar que p(x)/Q(x) é um polinomio de 3°...fica a opçao a) como a mais viavel...