Determine a e b

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Determine a e b

Mensagempor jcmatematica » Seg Ago 04, 2014 22:52

Determine a e b para que -x³ + 2x² - ax + 2b seja divisível por x² - x + 1
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Re: Determine a e b

Mensagempor Russman » Ter Ago 05, 2014 17:30

Para que um polinômio p(x) seja divisível por um outro q(x) é preciso que exista um polinômio s(x) tal que \forall \ x se verifique a identidade

p(x) = s(x) q(x)

No seu caso, p(x) é do 4° grau e q(x) do 3° grau. Assim, s(x) deve ser, necessariamente, do 1° grau!
Portanto, tome s(x) = kx+c, onde k e c são números reais tais que

-x^3 + 2x^2 -ax+2b = (kx+c)(x^2 - x +1)

Daí, desenvolvendo,

-x^3 + 2x^2 -ax+2b = kx^3 -kx^2 + kx + cx^2 - cx + c

e evocando a igualdade de polinômios* vem que

-1=k
-k+c = 2
k-c = -a
2b = c

Daí,

k=-1
c=1
a = 2
b = \frac{1}{2}

Verifique que

-x^3 + 2x^2 -2x+1 = -x^3 +x^2 -x + x^2 - x + 1

* A igualdade de polinômios afirma que , dados dois polinômios finitos
p_1(x) = \sum_{i=0}^{N_1}a_ix^i e p_2(x)\sum_{i=0}^{N_2} b_ix^i

a igualdade p_1(x) = p_2(x) somente verificar-se-a se N_1 = N_2(os pol. têm o mesmo gau.) e para cada i de 0 a N(N_1 = N_2= N) tem-se a_i = b_i.
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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