Questão de Intervalo em Polinômios

por **joedsonazevedo** » Qui Nov 15, 2012 11:34

Geste estou tentado resolver a seguinte questão envolvendo polinômios...
e quer saber o intervalo...Socorro por favor! preciso aprender como se
resolve tais questões... e primeiramente.. interpretá-las.. pois minha maior
dificuldade... não são os cálculos mas interpretar a questão...

--> Considerando-se que o polinômio P(x)= x^3+(m+4)x^2+x

tem uma única raiz real, pode-se afirmar
que m pertence ao intervalo:

a) ]-8,-6[
b) ]-6,-2[
c) ]-2,-1[
d) ]2,6[
e) ]6,8[

_____________________________________Muito Obrigado...

por **DanielFerreira** » Qui Nov 15, 2012 13:31

Joedson,
bom dia!

Para encontrar as raízes devemos fazer P(x) = 0

, veja:

$\\ x^3 + (m + 4)x^2 + x = 0 \\\\ x \left [ x^2 + (m + 4)x + 1 \right ] = 0$

Da última equação (fatorada) temos: $\begin{cases} \boxed{x = 0} \\ x^2 + (m + 4)x + 1 = 0 \end{cases}$

ZERO é uma das raízes e é REAL, portanto, para encontrar as outras raízes (complexas) devemos fazer $\Delta < 0$ .

$\\ x^2 + (m + 4)x + 1 = 0 \\ \Delta = b^2 - 4ac \\ \Delta = (m + 4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 \\ \Delta = m^2 + 8m + 16 - 4 \\ \Delta = m^2 + 8m + 12$

Já que sabemos o valor de $\Delta$ ...

$\\ \boxed{\Delta < 0} \\ m^2 + 8m + 12 < 0 \\ (m + 2)(m + 6) < 0 \\\ \begin{cases} m < - 2 \\ m < - 6\end{cases}$

Resta-nos estudar os sinais!
Daí,

$\boxed{\boxed{S = \left \{ m \in \mathbb{R} / - 6 < m < - 2 \right \}}}$

Alternativa "b"

Comente qualquer dúvida!1

Daniel F.

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