[números complexos] (fuvest 1997)

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[números complexos] (fuvest 1997)

Mensagempor JKS » Dom Set 23, 2012 01:35

me ajude, por favor.

sendo i a unidade imaginária pergunta-se: quantos números reais A existem para os quais
{\left(A+i \right)}^{4} é um número real?
JKS
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Re: [números complexos] (fuvest 1997)

Mensagempor young_jedi » Dom Set 23, 2012 14:00

desenvolvendo por binomio de newton

A^4+4.A^3.i+6.A^2.i^2+4.A.i^3+i^4

A^4-6.A^2+1+i.(4.A^3-4.A)

para que seja real

4A^3-4.A&=&0

resolvendo esta equação voce encontra os valores de A
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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