[Número Complexo] Exercício básico...

por **Vennom** » Sáb Jul 21, 2012 06:57

Senhores, bom dia. Nessa semana que se passou eu iniciei meus estudos de números complexos e, mediante o exercício em que lhes peço ajuda a seguir eu travei. Sequer consegui desenvolver um esboço de resolução. Se alguém aqui puder gentilmente me 'dar uma luz':

Fundamentos da Matemática Elementar, vol 6, exercício 16, pag 11:

Quais os números complexos x e y para os quais : x + yi = i e xi + y = 2i - 1 .
Seguindo o raciocínio que eu aprendi a ter até agora pelas coisas ditas pelo livro eu consideraria isso daí duas funções separadas e diria que para a primeira, considerando que real é igual a real e imaginário é igual a imaginário, diria que:

x = 0 e y = 1 ; na segunda eu diria que : x = 2 e y = -1 entretanto o gabarito é único e me apresenta a seguinte resposta:

x = 1 + i ; y = i

Logo em seguida vem o exercício 18, na pag 12:

Qual a condição para que o número ${(a+bi)}^{4}$ , a e b reais, seja estritamente negativo?

Nesse aí eu parti do seguinte princípio: ${(1+i)}^{2}=2i$ , então eu cheguei a algo como ${(a+bi)}^{4} = {[(a+bi)}^{2}]^{2} = {({a}^{2}-{b}^{2}+2abi)}^{2}$ ; então: ${({a}^{2}-{b}^{2}+2abi)}^{2} = {({a}^{2}-{b}^{2})^{2} + (2abi)}^{2} = {a}^{4}+{b}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-4{a}^{2}{b}^{2}$ , sendo essa última menor que zero, pois a condição do enunciado é que sejam menores que zero, então: ${a}^{4}+{b}^{4}-6{a}^{2}{b}^{2} < 0$ ; disso eu consigo dizer somente que ab tem que ser diferentes de zero;
já na resposta do livro o gabarito também chega a conclusão de que a = +-b ; essa última parte eu não sei como ele alcançou ou se minhas ponderações até aqui também foram corretas.
Obrigado a quem ler e se interessar a responder. Att, Rafael.

por **Russman** » Sáb Jul 21, 2012 07:21

Vennom:

A relação

$\left\{\begin{matrix} x+yi=i\\ xi+y=2i-1 \end{matrix}\right.$

é um sistema linear de 2 incógnitas,

e

, de 2 equações. Portanto o par (x,y)

da 1° equação é identico ao par (x,y)

da segunda equação.

A sua estimativa não estaria errada se considerássemos equações independentes. Mas não são.

A solução deste sistema segue como a de um sistema linear a variáveis reais.

Eu costumo resolver da seguinte forma: isole uma das incógnitas em uma equação e aplique na outra. Calculada essa incógnita, calcule a outra usando o valor desta.

Então, isolando

na 1° equação vem

$x+yi=i\Rightarrow y=\frac{1}{i}\left (i-x \right )$ .

Aplicando na 2° equação, temos

$xi+y=2i-1\Rightarrow xi+\frac{1}{i}\left (i-x \right )=2i-1$ ,

e, portanto,

$xi+\frac{1}{i}\left (i-x \right )=2i-1\Rightarrow -x+i-x=-2-i\Rightarrow -2x=-2-2i\Rightarrow x=1+i$ .

Agora, com este resultado, calculamos

.

$y=\frac{1}{i}\left (i-x \right )\Rightarrow y=\frac{1}{i}\left (i-1-i \right ) =\frac{-1}{i}\Rightarrow y=\frac{-1}{i}\cdot \frac{i}{i}=\frac{-i}{-1}=i$ .

Assim, a solução do sistema linear é

(x,y) = (1+i , i)

.

Alguma dúvida?

por **Vennom** » Sáb Jul 21, 2012 07:26

Até agora com relação a primeira pergunta, sua explicação foi maravilhosamente perfeita. Tem como me ajudar sobre minha edição aí na pergunta com relação a segunda dúvida?

Ps.: obrigado Russman.

por **Vennom** » Sáb Jul 21, 2012 07:29

Para complementar, nessa parte aqui na parte do y = -1/i , você multiplica por i/i por que? Eu não posso ter a unidade imaginária no denominador e por isso tenho que aplicar a regra da racionalização?

por **Russman** » Sáb Jul 21, 2012 08:09

É convencional que expressemos sempre um número complexo na forma a+bi

. Portanto, a solução $y=\frac{-1}{i}$ é correta porém, de certa forma, inadequada. Para resolver este problema basta que você multiplique o denominador e numerador pelo conjugado do número complexo que aparece no denominador.

Note que

$y=\frac{-1}{i}=\frac{1}{-i}$ .

O conjugado do complexo

é

. Portanto, segue o processo. Apenas uma observação: esta regra não é a da racionalização, visto que nesta o interesse é em escrever o denominador como um número racional( daí, racionalizar). Nosso objetivo é tornar o denominador real.

De forma geral, se você se deparar com o problema de expressar na forma convencional, isto é, a+bi

, o complexo, por exemplo,

$z=\frac{c+di}{e+fi}$

basta que o multiplique pelo conjugado do denominador, isto é, por e-fi

, visto que o produto de um numero complexo por seu conjugado é sempre um número real puro!

Segue que

$z=\frac{c+di}{e+fi}\cdot \frac{e-fi}{e-fi}=\frac{ce-cfi+dei+df}{e^{2}-efi+efi+f^{2}}=\frac{(ce+df)+i(de-cf)}{e^{2}+f^{2}}$

$\Rightarrow z=\frac{(ce+df)}{e^{2}+f^{2}}+i\frac{(de-cf)}{e^{2}+f^{2}}$

onde

$\left\{\begin{matrix} a=\frac{(ce+df)}{e^{2}+f^{2}}\\ b=\frac{(de-cf)}{e^{2}+f^{2}} \end{matrix}\right.$ .

por **Russman** » Sáb Jul 21, 2012 08:41

Russman escreveu:Qual a condição para que o número , a e b reais, seja estritamente negativo?

Antes de ajudá-lo nesta questão eu gostaria de corrigí-lo.

Na parte que você escreveu

$(a^{2} - b^{2} + 2abi)^{2} =(a^{2} - b^{2})^{2} + (2abi)^{2}$

tome cuidado, pois isto não é verdade! Reveja produtos notáveis.

Voltando a questão: um número complexo não pode ser classificado quanto a positivo ou negativo. Oque podemos fazer é classificar suas pates real e imaginária pois são reais.
Assim, a primeira coisa a fazer é determinar a relação de

com

para que o complexo apresentado seja um real puro! Para tanto é necessário que sua parte imaginária seja nula. Vamos expandir o complexo para isolar sua parte real e imaginária:

$(a+bi)^{4}=[(a+bi)^{2}]^{2} = (a^{2}-b^{2}+2abi)^{2} = (a^{2}-b^{2}+2abi)(a^{2}-b^{2}+2abi)$

$\Rightarrow (a+bi)^{4}=a^{4}-a^{2}b^{2}+2a^{3}bi-b^{2}a^{2}+b^{4}-2ab^{3}i+2a^{3}bi-2ab^{3}i -4a^{2}b^{2}$

$\Rightarrow(a+bi)^{4} = (a^{4}+b^{4}-6a^{2}b^{2})+i(4a^{3}b-4ab^{3})$ .

Veja, que a parte imaginária de $(a+bi)^{4}$ é $(4a^{3}b-4ab^{3})$ que deve ser nula. Portanto,

$(4a^{3}b-4ab^{3})=0\Rightarrow 4ab(a^2-b^2)=0$ .

Desta, tiramos três soluções possíveis:

$\left\{\begin{matrix} a=0\\ b=0\\ a=\pm b \end{matrix}\right.$

Mas ainda queremos que o número seja negativo, isto é, a parte real do número seja negativa ( uma vez qe ele será real puro pois tomamos a parte imaginária nula). Assim, teremos de testar as 3 soluções obtidas anteriormente na parte real e verificar se ela será negativa!

$a^{4}+b^{4}-6a^{2}b^{2}< 0$

Se tomarmos a 1° solução a=0

, então

$a^{4}+b^{4}-6a^{2}b^{2}< 0\Rightarrow b^4<0$ ,

o que é um absurdo, visto que qualquer real elevado a uma potência par é sempre positivo. Assim, esta não é válida. Descartamos a solução a=0

.
Para

acontecerá o mesmo!
Para a=b

, temos

$a^{4}+b^{4}-6a^{2}b^{2}< 0\Rightarrow 2b^4-6b^4<0\Rightarrow -4b^4<0$ .

Isto é verdade para todo b real, pois o produto de um negativo com um positivo é sempre negativo.
O mesmo acontecerá para o caso a=-b

.

Assim, segue o resultado do gabarito.

(:

por **Vennom** » Sáb Jul 21, 2012 09:18

Entendido! Obrigado, Russman!

por **Vennom** » Seg Set 10, 2012 14:50

Complementando um tópico antigo meu, mais duas perguntas sobre o mesmo assunto...
Livro: Fundamentos da Matemática Elementar, vol 6, pg. 44, exercício 84, alternativas C e D.
$\sqrt[3]{-11-2i}$
$\sqrt[4]{28-96i}$

Os respectivos gabaritos são :
1°) 1+2i ou $\frac{-1+2\sqrt[2]{3}}{2}+\frac{\sqrt[2]{3}-2} { 2 } i$ ou $\frac{-1-2\sqrt[2]{3}}{2}-\frac{\sqrt[2]{3}-2} { 2 } i$

2°) -3+i ou 3-i ou 1+3i ou -1-3i

Eu tentei aplicar a segunda fórmula de Moivre, mas me perco nesses dois últimos, só consegui com raízes quadradas.

por **Russman** » Seg Set 10, 2012 15:56

A fórmula de Moivre calcula potências e as

raízes

-ésimas de um número, em geral, complexo! Mas veja que a mesma calcula raízes de números puramente reais também( claro, todo Real é complexo).

Seja

um complexo de argumento $\theta$ . Assim,

$z^n=\left|z \right|^n\left(cos(n\theta+2nk\pi)+i.sin(n\theta+2nk\pi) \right)$

onde k=0,1,2,3,...,n-1

.

No primeiro caso, temos

$\sqrt[3]{-11-2i} = (\sqrt[]{11^2+2^2})^\frac{1}{3}\left(cos(n\theta+2nk\pi)+i.sin(n\theta+2nk\pi) \right)$

onde $\theta = arctan\left(\frac{-2}{-11} \right)=arctan\left(\frac{2}{11} \right)$ .

Agora faça k=0,1,2

e calcule as 3 raízes.

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