Operações com raiz de menos 1

por **gichan** » Seg Jul 19, 2010 16:27

Desculpem, mas eu to com uma dúvida muito básica de números complexos.
Eu sei que essa eh uma das primeiras coisas que se aprende quando se ve essa matéria, mas, mesmo depois de já tê-la visto na escola, essa dúvida ressurgiu depois que meu prof de geometria deu como desafio ver o erro daquelas demonstrações falsas, que 'provam' coisas doidas, tipo 2 = 1, 0 = 1, ou... i² = 1.
Como eu não quero que simplesmente me digam a resposta do problema, queria tirar uma dúvida:

$\sqrt[2]{-1} *\sqrt[2]{-1}$ é 1 ou -1? E pq?
É que eu pensei de duas formas:
1ª forma: $\sqrt[2]{-1}*\sqrt[2]{-1} = \sqrt[2]{-1 * -1} = \sqrt[2]{(-1)^2} = (-1^2)^{1/2} = -1}$
2ª forma: $\sqrt[2]{-1} *\sqrt[2]{-1} = \sqrt[2]{-1 * -1} = \sqrt[2]{(1} =1}$

Bem, mais uma vez desculpa se for algo muito fácil...
Mas, onde está o erro de algum desses dois raciocinios?

Agradeço desde já ^.^
E peço a compreensão de vcs =D

=* kissú

por **Molina** » Seg Jul 19, 2010 19:07

gichan escreveu:Desculpem, mas eu to com uma dúvida muito básica de números complexos.
Eu sei que essa eh uma das primeiras coisas que se aprende quando se ve essa matéria, mas, mesmo depois de já tê-la visto na escola, essa dúvida ressurgiu depois que meu prof de geometria deu como desafio ver o erro daquelas demonstrações falsas, que 'provam' coisas doidas, tipo 2 = 1, 0 = 1, ou... i² = 1.
Como eu não quero que simplesmente me digam a resposta do problema, queria tirar uma dúvida:

$\sqrt[2]{-1} *\sqrt[2]{-1}$ é 1 ou -1? E pq?
É que eu pensei de duas formas:
1ª forma: $\sqrt[2]{-1}*\sqrt[2]{-1} = \sqrt[2]{-1 * -1} = \sqrt[2]{(-1)^2} = (-1^2)^{1/2} = -1}$
2ª forma: $\sqrt[2]{-1} *\sqrt[2]{-1} = \sqrt[2]{-1 * -1} = \sqrt[2]{(1} =1}$

Bem, mais uma vez desculpa se for algo muito fácil...
Mas, onde está o erro de algum desses dois raciocinios?

Agradeço desde já ^.^
E peço a compreensão de vcs =D

=* kissú

Buenas!

Essas coisas realmente dão um nó na cabeça.
A maioria das propriedades de raiz quadrada que aprendemos são válidas para todos os números reais positivos, conforme consta aqui.

Sendo a < 0

, $\sqrt[2]{a}*\sqrt[2]{a} \neq \sqrt[2]{a*a}$

Finalizando, $\sqrt[2]{-1}*\sqrt[2]{-1} = -1$

Na dúvida o Google responde, Hehe! :lol:

por **gichan** » Seg Jul 19, 2010 22:06

Aháá =P
Não sabia que essa propriedade não servia para os nºs negativos.

Isso me ajudou muito, pq agora eu sei q o erro da prova n tá nessa parte ;D

Anyway, hora de colocar minha mente pra funcionar para achar o erro da prova q i² = 1

=O

Brigadão Diego ^.^
*Nem precisei ir no Google, tá?* uahsuAHSUAsuaHSUAhsuH
Brinks ;D vc foi bem esclarecedor, thank you so much!

=*

por **Molina** » Seg Jul 19, 2010 22:13

gichan escreveu:Aháá =P
Não sabia que essa propriedade não servia para os nºs negativos.

Isso me ajudou muito, pq agora eu sei q o erro da prova n tá nessa parte ;D

Anyway, hora de colocar minha mente pra funcionar para achar o erro da prova q i² = 1

=O

Brigadão Diego ^.^
*Nem precisei ir no Google, tá?* uahsuAHSUAsuaHSUAhsuH
Brinks ;D vc foi bem esclarecedor, thank you so much!

=*

You're welcome!

Não sei se te ajuda onde quer chegar, mas no final do link da wikipedia tem uma demonstração errônea de 1 = -1

, passando por i^2

.

Bom estudo! :y:

por **gichan** » Seg Jul 19, 2010 23:35

O.ops, mais uma mancada minha... eu to malz... =/

Bem, a prova era algo assim:
-1/1 = 1/-1 (I)
$\sqrt{\frac{-1}{1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}}$ (II)
$\frac{\sqrt{-1}}{1} = \frac{1}{\sqrt{-1}}$ (III)
i^2 = 1

(IV)

O erro tá no fato dessa propriedade (edit: de II pra III )não valer para dos nºs negativos, né?
Tipo, se for realmente isso, eu dei uma volta, pq foi exatamente o q vc disse desde o começo e a pessoa distraída aqui não notou que era justamente aí q morava o erro...

Obrigada de novo ^.^
E Boa Noite!

por **Tom** » Ter Jul 20, 2010 00:15

Apenas a nível de informação:

$i=\sqrt{-1}$ é uma definição, isto é, um atributo que foi convencionado e que, a rigor, não pode ser demonstrado.

por **gichan** » Ter Jul 20, 2010 08:25

Tom escreveu:Apenas a nível de informação:

$i=\sqrt{-1}$ é uma definição, isto é, um atributo que foi convencionado e que, a rigor, não pode ser demonstrado.

Mas tomando isso como base, as demais demonstrações podem ser feitas sem problemas, né?
Eu às vezes fico me perguntando como eh q isso entra na cabeça das pessoas tão fácil e eu ainda me enrolo na tal da raiz de menos um =S
Tipo, nas provas, testes, exercícios, eu não me enrolo. Vou bem, por sinal =P
Mas eu n entendi a essência do negócio, se assim poso dizer. Eu aprendi a fazer os exercícios e pronto.
Coisa feia pra quem gosta de mat hehe... Por isso que eu vim aqui ^.^
Meus prof's de mat indicaram O Romance das Equações Algébricas e estou lendo bem confiante de que vai me ajudar =D

Hora de ir pra aula UAHSUahsuAHSUAHSU
valeu again!
E ate mais!

por **Anniinha** » Dom Out 31, 2010 02:54

a unidade imaginária i = (0,1) por definição.

fazendo i² temos que i.i = (0,1).(0,1)* = (0.0 - 1.1, 0.1 + 1.0) = (-1,0) = -1

ou seja, i² = -1 ou $i = \sqrt[]{-1}$

*Multiplicação de um numero complexo:
de ${z}_{1}= \left({x}_{1},{y}_{1}\right)$ e ${z}_{2}= \left({x}_{2},{y}_{2}\right)$ :
temos que
${z}_{1}.{z}_{2}= \left({x}_{1}.{x}_{2}-{y}_{1}.{y}_{2},{x}_{1}.{y}_{2}-{y}_{2}.{y}_{1} \right)$

por **gichan** » Dom Out 31, 2010 18:50

Anniinha escreveu:
*Multiplicação de um numero complexo:
de ${z}_{1}= \left({x}_{1},{y}_{1}\right)$ e ${z}_{2}= \left({x}_{2},{y}_{2}\right)$ :
temos que
${z}_{1}.{z}_{2}= \left({x}_{1}.{x}_{2}-{y}_{1}.{y}_{2},{x}_{1}.{y}_{2}-{y}_{2}.{y}_{1} \right)$

A multiplicação de um numero complexo tbm é por definição, Ana?