N.C na forma trigonométrica

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N.C na forma trigonométrica

Mensagempor geriane » Seg Jul 05, 2010 13:45

Determine z, z pertecente aos complexos, tal que z+\left|z \right|=2+i.
O resultado dá z = 3/4+i
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Re: N.C na forma trigonométrica

Mensagempor Douglasm » Seg Jul 05, 2010 14:10

Considere:

z = a+bi

|z|=\sqrt{a^2+b^2}

É evidente que |z| é um número real. Deste modo devemos igualar as partes reais e imaginárias do seguinte modo:

z + |z| = 2 + i \;\therefore

a+bi = (2-|z|) + i \;\therefore

a = 2 - \sqrt{a^2+b^2} \;\mbox{e}\; b = 1

Sabendo que b=1, substituímos:

a = 2 - \sqrt{a^2+1} \;\therefore

\sqrt{a^2+1} = 2 - a \;\therefore

(\sqrt{a^2+1})^2 = (2 - a)^2 \;\therefore

a^2 + 1 = 4 - 4a + a^2 \;\therefore

a = \frac{3}{4}

Finalmente:

z = \frac{3}{4} + i
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Re: N.C na forma trigonométrica

Mensagempor geriane » Seg Jul 05, 2010 14:23

Nossa, valeu!!!!! Muito obrigada mesmo...
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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