Simplificação de expressão

por **Cleyson007** » Qui Jan 14, 2010 22:13

Boa noite!

Simplifique a expressão:

$\frac{(n+2)!+(n+1)(n-1)!}{(n+1)(n-1)!}$

Pensei em dois meios de resolver, mas nenhum deles está de acordo com o gabarito.

Primeiro método: (Cortar o

que aparece no numerador e no denominador).

$\frac{(n+2)!}{(n+1)(n-1)!}$

$\frac{(n+2)(n+1)!}{(n+1)(n-1)!}$

Cortando o (n+1)!

que aparece no numerador e no denominador, encontro como resposta:

$\frac{n+2}{n-1}$

Segundo método:

$\frac{(n+2)(n+1)!+(n+1)(n-1)!}{(n+1)(n-1)!}$

Corto o (n+1)!

do numerador com o do denominador e, da mesma forma, corto também o (n-1)!

.

Encontrando como resposta:

n+2+n+1

Quanto as duas resoluções, o que estou querendo saber é onde se encontra o (s) erro (s) (uma vez que a resposta não bateu com o gabarito).

Resposta do gabarito: (n+1)²

Agradeço a atenção e ajuda!

por **MarceloFantini** » Sex Jan 15, 2010 00:41

Boa noite Cleyson!

Achei muito bonita a questão. Vamos à resolução:

$\frac{(n+2)! + (n+1)(n-1)!}{(n+1)(n-1)!}$

$\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)! + (n^{2} -1)! }{ (n^{2} -1)!}$

$\frac{(n^{2} -1)!(n^2 +2n+1)}{(n^2-1)!}$

${(n+1)}^{2}$

Espero ter ajudado.

Um abraço.

P.S.: Como fez o LaTeX com as letras grandes? Não consegui.

por **Cleyson007** » Sáb Jan 16, 2010 11:36

Bom dia Fantini!

Fantini, porque o (n+2)!

foi desenvolvido até o (n-1)!

e não até o (n+1)!

?

Por favor, explique todo o processo de maneira bem detalhada para que eu entenda, ok?

Quanto ao uso do LaTeX, não fiz nada de anormal para que as letras saíssem um pouco maior *-)

(Quando postei a questão, estava usando o Ubuntu, mas creio que não seja isso.)

Agradeço sua ajuda!

Até mais.

por **MarceloFantini** » Sáb Jan 16, 2010 19:12

Boa tarde Cleyson!

Vou primeiro analisar os métodos que você usou, mostrar onde errou e depois explicar o meu, OK?

Seu primeiro método: cortar o (n+1)(n-1)!

que aparece no numerador e no denominador.

$\frac{(n+2)!}{(n+1)(n-1)!} + \frac{(n+1)(n-1)!}{(n+1)(n-1)!}$

$\frac{(n+2)!}{(n+1)(n-1)!} + 1$

Lembre-se que quando você tem uma fração com soma no numerador é a mesma coisa que duas frações com o mesmo denominador: $\frac{3+4}{7} = \frac{3}{7} + \frac{4}{7}$

Seu segundo método: cortar o (n+1)!

do numerador com o do denominador e, da mesma forma, cortar também o (n-1)!

.

$\frac{(n+2)(n+1)!}{(n+1)(n-1)!} + \frac{(n+1)(n-1)!}{(n+1)(n-1)!}$

Note que no denominador na verdade não é um fatorial da forma que está, pois se fosse deveria ser: (n+1)n(n-1)!

. Porque na fração do lado direito podemos simplificar? Porque é como se fosse $\frac{5}{5}$ . Não corremos o risco de dividir por zero.

Agora, sabendo que o fatorial é produto inteiro, dá pra entender porque eu abri até o (n-1)!

. Vou partir da última linha acima:

$\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)!}{(n+1)(n-1)!} + 1$

$\frac{(n+2)n(n+1)(n-1)!}{(n+1)(n-1)!} +1$

Eu apenas reorganizei pra mostrar porque agora podemos "cortar":

(n+2)n +1