sala de cimena

[gramata]

Ajuda Urgente

Uma sala de cimena tem uns cem lugares, os bilhetes sao numerados. Hoje esta lotacao esgotada. O primeiro espectador que aparece perdeu o seu bilhete , mas nos deixamos ele entrar. Ele nao se lembra do numero do bilhete, e escolhe um lugar qual quer .Os espectadores seguintes um a um semtam-se no seu lugar ,se estiver livre,se nao escolhem outro lugar.Qual é a probabilidade de o ultimo se semtar no seu lugar(ou seja no lugar marcado no seu bilhete)?

[brunozi]

Probleminha interessante!
Eu acho que a probabilidade do ultimo sentar-se no lugar designado é de 50%.

Agora, porque eu acho isso:
Acho mais fácil calcular a probabilidade do último carinha chegar e ter seu lugar ocupado (p_ocupado), somando a probabilidade de cada um dos outros 99 ser a causa do seu lugar estar ocupado.
Daí, a probabilidade dele sentar no lugar designado será (1 - p_ocupado), certo?


Vamos chamar todos eles de cara_N, ok?
O cara_1 chega e senta em um lugar aleatório, com 1% de probabilidade para todos os lugares. Assim:

- Probabilidade do cara_1 sentar no lugar do cara_100 é 1%.

- Probabilidade do cara_1 sentar no lugar do cara_99 é 1%, e do cara_99 sentar no lugar do cara_100 é 50% (só tem 2 lugares quando ele chega). Logo, aqui temos 1% * 50% = 0,5%.

- Probabilidade do cara_1 sentar no lugar do cara_98 é 1%. O cara_98 pode sentar no lugar do cara_100, com probabilidade de 1/3; ou ele pode sentar no lugar do cara_99 (também com p = 1/3), e o cara_99 pode sentar no lugar do cara_100, com probabilidade de 50%. Somando todas as possibilidades aqui, dá:
1% * ((1/3) + (50% * 1/3)) = 0,5%.

Acho que já dá pra perceber qual a idéia aqui, ok?
Não vou continuar desenvolvendo aqui, porque a coisa vai começar a crescer muito. Mas eu ainda calculei para o caso do cara_1 sentar no lugar do cara_97 e do cara_96. E também deu 0,5%.

Daí, eu suponho para os casos do cara_1 sentar no lugar do cara_N (2 <= N <= 98), a probabilidade do lugar do cara_100 ser ocupado é de 0,5% para cada caso.

Então, no total, a probabilidade do lugar do cara_100 estar ocupado será:

p_ocupado = 98 * 0,5 + 1% = 49% + 1% = 50%.
(O 1% aqui, é a probabilidade do cara_1 ocupar o lugar do cara_100, diretamente.)

Logo, a probabilidade do cara_100 sentar no lugar certo também é de 50%.

Espero ter ajudado.

[Elcioschin]

1) Probabilidade do primeiro expectador acertar a sua cadeira = 1/100 ----> Neste caso todos os 99 demais sentam no lugar certo (inclusive o último)

2) Probabilidade do primeiro expectador errar = 99/100 (suponha que o 1ª expectador A senta no lugar de B)

Neste caso 98 expectadores sentarão nos seus próprios lugares. O expectador B, que é o último a sentar, senta no lugar do A.

Logo, a probabilidade do último sentar errado é 99%

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