Problema de Análise Combinatória

por **roberoliveira** » Ter Jun 08, 2010 20:04

Qual a resposta correta para o problema abaixo, 98 ou 210? Foi-me falado por colegas no curso, que ele é resolvido através de permutações circulares, isso é correto?

Problema:

De quantas maneiras posso convidar 5 amigos de 11, sendo que dentre estes 11 há dois casais cujos membros não podem ser convidados sozinhos.

Alguém poderia me ajudar?

Att, Robert.

por **Molina** » Qua Jun 09, 2010 00:00

Boa noite.

Cheguei como resposta 98 também. Mas gostaria que outra pessoa (ou você mesmo) confirmasse a resposta.

Fiz da seguinte forma:

Dividi em 4 casos:

Caso 1) Ambos os casais não são convidados, restam 5 vagas.

Caso 2) Um dos casais é convidado, restam 3 vagas.

Caso 3) Apenas o outro casal é convidado, restam 3 vagas novamente.

Caso 4) Ambos os casais são convidados, resta 1 vaga.

:idea:

por **roberoliveira** » Qua Jun 09, 2010 20:15

Boa Noite Molina

Primeiramente muito obrigado pela resolução.

Eu cheguei a C(7,5) + 2*C(7,3) + 7 = 98.

O que me desconcertou neste problema foi o fato de sua resposta ser 210 no livro onde ele aparece (Matemática Discreta, Seymour Lipschutz) e para complicar o amigo que me propôs este problema, o resolveu através de um cálculo estranho* com uso da ideia de permutação circular, que ao meu ver não tem aplicação no contexto desse problema.

* Ele contou cada casal como 1 pessoa (A,B = AB conta como 1 mas continuam sendo 2 pessoas) e usou C9,3 para o caso de um ou dois casais e C9,5 para o caso de nenhum casal. Justificando C9,3 com a fórmula de permutações circulares. Apesar disso não ter uma lógica infálivel ao meu ver**, a soma C9,3 + C9,5 = 210. Enfim acho que tal fato foi uma enorme coincidência, rara de se ver diga-se de passagem.

**Ambas combinações não funcionam em todos casos casos, elas permitem conjuntos ora com mais ora com menos de 5 pessoas.

Att, Robert.

por **angeruzzi** » Qui Jun 10, 2010 04:06

Olá roberoliveira e molina,

Provavelmente há um erro no enunciado, a solução 210 seria para o caso de apenas 1 casal na turma, onde a solução seria a seguinte:

Todas as combinações possíveis dos 11 amigos em grupos de 5 ( $C_{11}^{5}$ ) menos as combinações onde o casal está separado ( $2 . C_{9}^{4}$ , são 2 situações onde eu já selecionei um dos parceiros e faltam 4 vagas a serem preenchidas dentre os amigos restantes, sendo apenas 9 pq não vou selecionar o outro integrante do casal ).

$C_{11}^{5} - 2.C_{9}^{4} = 462 - 2.126 = 210$

Segui a mesma lógica acima aplicando para 2 casais e também cheguei em 98. Apesar de ser uma solução mais complicada confirma a resposta:

Combinação Completa ( $C_{11}^{5}$ ) menos as 4 situações onde apenas 1 membro dentre os 2 casais é chamado ( $4 . C_{7}^{4}$ ), menos as 4 situações onde 1 membro de cada casal são chamados ( $4 . C_{7}^{3}$ ), menos as 4 situações onde 1 casal e mais 1 integrante do outro casal são chamados ( $4 . C_{7}^{2}$ ).

$C_{11}^{5} - 4 . C_{7}^{4} - 4 . C_{7}^{3} - 4 . C_{7}^{2} = 462 - 140 - 140 - 84 = 98$

E realmente a lógica do amigo do roberoliveira não fez qualquer sentido para mim.

por **roberoliveira** » Sex Jun 11, 2010 15:27

Acertou em cheio Angeruzzi, realmente o erro está na interpretação do enunciado cuja forma original é a seguinte:

"Uma mulher tem 11 amigos próximos. De quantas maneiras ela pode convidar cinco deles para jantar, se dois são casados e não comparecem separadamente?"

Foi uma falha de interpretação minha e do meu amigo.

Muito Obrigado.

Att, Robert

por **angeruzzi** » Sex Jun 11, 2010 15:57

Agora ficou claro roberoliveira, o enunciado diz 2 amigos casados e não 2 casais. Então a minha solução se encaixa no problema.

Desculpe ser chato, mas é que já puxaram minha orelha aqui no fórum, para novas dúvidas abra um novo tópico, as respostas devem ser utilizadas apenas para discussão do problema inicial proposto.