( combinatória ) cores da bandeira

por **Roberta** » Seg Jul 27, 2009 23:55

Ola pessoal.
Estou em dúvida com relação a esta questão. Vejam só:
(FINEP /2006 - NCE)
Precisa-se criar bandeiras para times de uma competição em um escola. As bandeiras terão a forma indicada na figura abaixo(*), com três faixas verticais adjacentes coloridas. Estarão disponíveis 5 cores distintas para se pintar as faixas. Em uma bandeira poderá ser usada a mesma cor em duas faixas distintas contanto que elas NÃO sejam adjacentes.

O número total de bandeiras distintas que podem ser criadas é:
(A) 60;
(B) 80;
(C) 100;
(D) 120;
(E) 125.

(*) a figura da bandeira é como um sorvete napolitano, ou como a bandeira da itália ou a da frança: um retângulo com 3 faixas transversais.

(continua)

por **Roberta** » Ter Jul 28, 2009 00:00

Calculei da seguinte forma (sem usar fórmula)

5 x 4 x 5 = 100
na primeira faixa, podemos usar as 5 cores;
na segunda faixa, podemos usar só 4 cores;
na terceira faixa, podemos usar 5 cores novamente.
Isso porque pode haver repetição, contanto que as cores não sejam adjacentes!

Mas tb pensei o seguinte...
pode-se fazer o inverso .......... 4x5x4 = 80

Achei que 100 seria a resposta correta, mas - para minha surpresa - 80 é a resposta certa!!! :?:

Alguém poderia me dizer pq o raciocínio com 100 não funciona? Estaria havendo algum tipo de repetição? de que forma?

Obrigada!!
Roberta :-)

por **Molina** » Ter Jul 28, 2009 09:24

Bom dia, Roberta.

Realmente a resposta é 80. Como? Vou tentar explicar:

Você tem 3 retângulos e quer pintar com cinco cores disponíveis. Porém, os retângulos adjacentes não podem ter a mesma cor, ou seja, o primeiro não pode ter a mesma cor do que o segundo; o segundo não pode ter a mesma cor do que o terceiro; e por isso o primeiro e o terceiro podem ter a mesma cor. Ok?

Agora vamos supor a cor: verde, amarelo, azul, vermelho e branco.

Para o primeiro retângulo você realmente tem 5 opções;
Vamos supor que a cor escolhida é vermelho.

Restam as cores verde, amarelo, azul e branco para o segundo retângulo
(já que os retângulos adjacentes nao podem ser da mesma cor).

Para o segundo retângulo você tem 4 opções;
Vamos supor que a cor escolhida é branco.

Restam as cores verde, amarelo, azul e vermelho para o terceiro retângulo
Note que o vermelho voltou a poder ser utilizado, já que o terceiro nao é vizinho do primeiro, mas o branco nao pode ser utilizado agora.

Para o terceiro retângulo você tem 4 opções;

Fazendo a multiplicação das opções: 5*4*4=80

Espero ter ajudado.

Bom estudo, :y: