Probabilidade com cartas

por **LuRodrigues** » Seg Abr 23, 2012 13:55

Um baralho comum de 52 cartas, das quais 12 são figuras (valete, dama e rei), é subdividido aleatoriamente em 3 partes. As partes são colocadas sobre uma mesa com as faces das cartas viradas para baixo. A carta de cima de cada das 3 partes é desvirada. Com base na situação descrita, julgue os itens abaixo.

1) A chance de que as 3 cartas desviradas sejam figuras é maior do que 1%.

Fiz assim: 12/52 x 11/51 x 10/50 => 0,23 X 0,22 x 0,2 => 0,01012 => 1,01% certo , mas no gabarito consta errado.

2) A probabilidade de que exatamente 2 das cartas desviradas sejam figuras está entre 0,08 e 0,13%

Resolução: 12/52 x 11/51 => 0,0506 x 0,8 (40/50) => 0,040 errado, mas no gabarito consta certo.

3) A probabilidade de que pelo menos uma das 3 cartas desviradas seja uma figura é maior do que 0,5%.

=> 0,0506 X 0,8 x 0,79 => 0,032 errada, mas é verdadeira.

De modo geral, questões de probabilidade com baralhos são mais simples, mas não estou conseguindo encontrar o cálculo correto - poderiam ajudar?

por **joaofonseca** » Seg Abr 23, 2012 19:04

Pelo que entendi do problema, o baralho de 52 cartas é dividido ao acaso em 3 partes (não obrigatoriamente iguais) e depois das partes serem colocadas separadamente sobre a mesa, a carta do topo de cada monte é virada. Na pratica este procedimento é equivalente a retirar 3 cartas aleatoriamente do baralho inteiro, sem necessidade de o dividir em 3 partes.

Na 1ª questão temos $\frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{52 \cdot 51 \cdot 50}=\frac{1320}{132600}\approx0,00995$

Na 2ª questão, eu apliquei a lei binomial.
Seja F o acontecimento de sair figura, logo

$P(F)=\frac{12}{52}$

$P(\bar{F})=\frac{40}{52}$

Seja X a variável aleatória "número de figuras saídas". Assim:

$P(X=2)=^3C_{2} \cdot \left(\frac{12}{52}\right)^2 \cdot \frac{40}{52} \approx 0,123$ (12,3%)

Na 3ª questão apliquei novamente a lei binomial:

$P(X\leq 1)=^3C_{0} \cdot \left( \frac{12}{52} \right)^0 \cdot \left(\frac{40}{52} \right)^3 + ^3C_{1} \cdot \left(\frac{12}{52}\right)^1 \cdot \left(\frac{40}{52} \right)^2\approx 0,865$ (86,5%)

Estes últimos calculos podem parecer complicados, mas o que fiz foi somar P(X=0)+P(X=1)

por **LuRodrigues** » Seg Abr 23, 2012 20:07

João,
Obrigada. Na questão 3, o resultado apresentado pelo gabarito foi 55%...

por **joaofonseca** » Ter Abr 24, 2012 06:23

Enganei-me.
Sair pelo menos uma figura significa $P(X \geq 1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$ . Ou seja:

0.4096+0.1229+0.0123=0.5448 (arredondado às 4 casas décimais).

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