Inequação!! Por favor ajude

por **Zetsu PN** » Seg Abr 02, 2012 23:50

Por favor, seja didático

"A solução da inequação $\frac{{x}^{2} + 2x - 1}{{x}^{2} -1}$ $\geq$ $\frac{1}{x + 1}$ é:

por **NMiguel** » Ter Abr 03, 2012 07:26

A primeira coisa a fazer para resolver esta inequação é reduzir ambos os membros ao mesmo denominador.

Como $x^{2}-1 = (x-1)(x+1)$ , basta transformarmos o denominador do segundo membro.

Assim, temos: $\frac{{x}^{2} + 2x - 1}{{x}^{2} -1} \geq \frac{1}{x + 1} \Leftrightarrow \frac{{x}^{2} + 2x - 1}{{x}^{2} -1} \geq \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x-1}{x - 1}$

Calculando o produto no segundo membro, ficamos com: $\frac{{x}^{2} + 2x - 1}{{x}^{2} -1} \geq \frac{x-1}{{x}^{2} -1}$

Em seguida, devemos passar todos os termos para o primeiro membro: $\frac{{x}^{2} + 2x - 1}{{x}^{2} -1}- \frac{x-1}{{x}^{2} -1} \geq 0$

E calculamos esta diferença: $\frac{{x}^{2} + x }{{x}^{2} -1} \geq 0$

Como o numerador e o denominador têm um fator comum, podemos transformar esta inequação da seguinte forma:

$\frac{{x}^{2} + x }{{x}^{2} -1} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{x + 1 }{x+1} \cdot \frac{ x }{x-1} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{ x }{x-1} \geq 0 \wedge x\neq -1$

Como tanto o numerador como o denominador representam retas crescentes, a fração é positiva antes da raiz do numerador e depois da raiz do denominador. Assim, temos $\frac{ x }{x-1} \geq 0 \wedge x\neq -1 \Leftrightarrow x\in \left ((-\infty ,0] \cup [1,+\infty ) \right )\setminus \left \{ -1 \right \}$

Espero ter ajudado. Se não perceber algum dos passos da resolução, tentarei explicar melhor.

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Re: Inequação!! Por favor ajude

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